熱伝導の問題なのですが

質問

熱伝導の問題なのですが

直径ｄの無限に長い丸棒がある．この一端ｘ＝０の温度をθ０（シータゼロ）に保つとき，丸棒の温度分布を求めよ．ただし，半径方向の温度分布は無視できるものとし，丸棒の熱伝導率λ，表面の熱伝達率ｈは場所によらず一定，また周囲の流体の温度は０とせよ．

答えは，θ＝θ０*exp{-(√4h/λd)*x}

になるみたいなのですが解き方が分かりません．
expの使い方もよく分かりません．
どなたか教えていただけないでしょうか．

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

仮定から、半径方向の温度分布は無視できるので、温度は断面上で一定と見なせるので棒の長さ方向をx軸にとれば温度θはxのみの関数である。棒の断面積はπ(d/2)^2=(πd^2)/4（=fとおく）
xの断面を通して単位時間に通過する熱量Q[x]は
Q[x]=-λf・dθ/dx
x+dxでは
Q[x+dx]=-λf・(dθ/dx+d^2θ/dx^2)
x～x+dx間の周囲から外界へ伝わる熱量Q0は周囲の温度をθ1(=0)とすれば
Q0=πhd・(θ-θ1)dx
Q[x]とQ[x+dx]+Q0とが等しいと見ることが出来るから
-λf・dθ/dx = -λf・(dθ/dx+d^2θ/dx^2) + πhd・(θ-θ1)dx
∴d^2θ/dx^2 = (πhd/λf)θ
よって
θ = c1・e^(αx)+c2・e^(-αx) (α=√(πhd/λf)とおいた)
x=∞でθは∞にならないとすれば、c1=0　またx=0でθ=θ0だからc2=θ0
∴θ = θ0・e^(-αx)=θ0・e^(-√(πhd/λf)x)=θ0・e^(-√(4h/λd)x)

お礼

すいません。
お礼おくれました泣
これわ公式的な感じで覚えればいいんですね＾＾
回答ありがとうございました♪

補足

早速の回答ありがとうございます。理解しようと頑張ったのですがここの間だけわかりません
積分だと思うのですが途中式はどうなるのでしょうか？
ご回答いただけたら助かるのですが・・・

∴d^2θ/dx^2 = (πhd/λf)θ
よって
θ = c1・e^(αx)+c2・e^(-αx) (α=√(πhd/λf)とおいた)