熱伝導の問題

質問

熱伝導の問題
厚さd=1[mm]の無限平板が縦に立っているとします。
無限平板左側の大気の温度T1=773[K]の時の右側の大気の温度T2[K]を求めたいのです。
以下の条件で求めることができるでしょうか？
板を通過する熱流束q[W/m^2]は分かりません。

・温度勾配⊿T/d=50000[K/m]
・熱伝導率λ=80[W/(m・K)](一定)
・無限平板の左の大気の熱伝達率α1=100[W/(m^2・K)]
・無限平板の右の大気の熱伝達率α2=10[W/(m^2・K)]

ご存知の方、大変お手数ですが、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

添付図を貼り直します。

お礼

ご回答ありがとうございます。
温度勾配は、⊿T/d=-50000[K/m]です。すみません。
教えていただいた方法を参考に計算してみました。

式(5)より
q=-80×(-50000)=4000000[W/m^2]

式(3)より
T(0)=773+4000000/100=40773[K]=C

式(6)より
T(d)=4000000/80×0.001+40773
=40823[K]

式(4)より
T2=40823+4000000/10=440823[K]

と以上に高い温度になってしまいますが、計算方法が間違っているのでしょうか？

回答No.4

inara1

＞と以上に高い温度になってしまいます
計算としては合ってます。
熱伝導率が 80K/m・W、厚さ 1mm の板に 50K の温度差をつけるというのはかなり非現実的だと思います（温度勾配が大きすぎる）。

問題文の数値が正しいとき、熱流束は確かに 4×10^6 W/m^2 というとんでもない値になります。熱伝達率が 10 W/m^2・K というのは自然対流で冷却または加熱されている場合、 100 W/m^2・K というのは弱い風で冷却または加熱されている場合にだいたい相当します。したがって板を暖めたり冷やしたりする条件としてはあまり良くないです。そういう状況で、そのような大きな熱流束を輸送するには、計算したようなとんでもない温度が必要になります。問題文の数値はあってますか？

回答No.2

inara1

平板内部は熱伝導ですが、平板表面と外部との熱のやりとりは熱伝達ということが理解できれば解けます。

添付図に途中まで書きましたが、式(3)～(6)を使えば、T2 を求めることができます。式(5) の dT/dx が温度勾配（既知）です。

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回答No.1

noname#185706

>・温度勾配⊿T/d=50000[K/m]

これは板の内部での値ですね。そうであれば、板の左右両面での温度差は
1 mm * 50000 K/m = 50 K
です。

もし T1、T2 が板に接する部分の温度のことであるのなら、それらは板の面上の温度に等しいので、
T2 = T1 ± 50 = 823, 723 [K]
となります。

T1 または T2 が板から離れた場所の温度である場合には、質問文に与えられた条件だけから T2 を求めることは不可能ではないでしょうか。

なお、λとα1、α2の単位が異なる理由が私にはわかりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

単位についてですが、
・熱伝導率λ[W/(m・K)]
・熱伝達率α1,α2[W/(m^2・K)]

フーリエの式
q=-λ(dT/dx)
[W/m^2]=[W/(m・K)]×[K/m]

ニュートンの冷却則
q=α(Tb-Ta)
[W/m^2]=[W/(m^2・K)]×[K]

で次元としては間違っていないと思います。