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数学に腕の覚えのある方へ

f(x)=x*TAN(1/x) が少なくとも x>1 においては単調減少関数であることを示すのは可能でしょうか。

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

「g'(t)の分子を取り出した式」が 2t - sin(2t) なので、 これが正であることを示すのに、微分して計算を進めることが正しいのか? という疑問が残る。 lim[θ→0] (sinθ)/θ の値と sinθ の定義にまつわる例のいつものアレ。 ここでの sinθ の定義を明示しないと、循環論の有無が判定できない。

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.1

このままで導関数を計算しても面倒そうなのでt=1/xと置換して、0<t<1で(1/t)tan(t)が単調増加関数であることを示すほうが簡単そう。 g(t)=(1/t)tan(t)とおきg'(t)を計算、得られた式の分母>0であることから分子>0が<t<1で成り立つことを示す。 g'(t)の分子を取り出した式の導関数とt=0の値からg'(t)>0が導けます。 実際に計算するとcos(t)≠1,t>0であれば単調減少となるようです。

quadoor
質問者

補足

ご回答、ありがとうございます。 早々の返信を頂いたのにもかかわらず、遅くなってしまいすみません。。 rnakamraさんが提示された解法についてなのですが、少し気になる点があります。 >g'(t)の分子を取り出した式の導関数とt=0の値からg'(t)>0が導けます。 >実際に計算するとcos(t)≠1,t>0であれば単調減少となるようです。 おそらくこれによると、(分子)’=2-2cos2t>0 のようにg’(t)の符号が判別されるのでしょうが、 「t>0」、すなわちx>0でf(x)が単調減少であるというのは、どのようにわかったのでしょうか。 また、この解法で行くと、t≠0であれば常にg(t)は“減少しない”関数となると思うのですが、 f(x)の概形を推察するに負の領域では、x<0,tan(1/x)<0より、(減少ではなく)増加関数となることが あると予測できます。これらの関係についてご説明頂けませんでしょうか。

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