高校数学

質問

f(x)は実数全体で連続であり、0<f(x)<1を満たす。
数列{a[m]}を
a[1]=1, a[m]=∫[0→a[m-1]]f(x)dx で定める。
以下の問いに答えよ。

(1)a[m]>0 および{a[m]}が単調減少することを示せ。

(2)1/2002>a[m]を満たすmが存在する事を背理法によって示せ。

(1)は帰納法使って解けたんですが、(2)がわかりせん。はさみうち使うのはなんとなくわかるんですが、うまく不等式が作れません。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(x)は実数全体で連続であり、0<f(x)<1を満たす。
数列{a[m]}を
a[1]=1,
a[m]=∫[0→a[m-1]]f(x)dx
で定める。

(1)
n=1～m-1に対して
a[n]>0
{a[n]}_{n=1～m-1}は単調減少と仮定すると
0<f(x)<1
0<a[m-1]
だから
0<a[m]=∫[0→a[m-1]]f(x)dx<∫[0→a[m-1]]dx=a[m-1]
∴
a[m]>0 および{a[m]}が単調減少する

(2)
1/2002>a[m]を満たすmが存在しないと仮定すると
全てのmに対して
a[m]≧1/2002
だから
数列{a[m]}は下に有界な単調減少数列だから収束するから
lim_{m→∞}a[m]=s≧1/2002
とすると

s
=lim_{m→∞}a[m]
↓a[m]=∫[0→a[m-1]]f(x)dxだから
=lim_{m→∞}∫[0→a[m-1]]f(x)dx
=∫[0→lim_{m→∞}a[m-1]]f(x)dx
↓lim_{m→∞}a[m-1]=sだから
=∫[0→s]f(x)dx
↓f(x)<1だから
<∫[0→s]dx
=s
↓
s<sとなって矛盾するから

1/2002>a[m]を満たすmが存在する

お礼

おおお！なるほど！
非常に参考になりました。ありがとうございました！