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大学の微積分困ってる。お願いします
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- 178-tall
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n ∫ f(x)dx …(0) 1 ＜ f(1)+f(2)+.....+f(n) …(1) n ＜ f(1) + ∫ f(x)dx …(2) 1 まず (1) の f(m) だが？ おそらく、整数 m ごとに m≦x < m+1 にて f(x) = f(m) 、他の x では f(x) = 0 、という定義…だろう。 ならば、題意「f(x)は連続かつ単調減少で、f(x)>0」により、整数 m ごとに細分した区間内にて、 m+1 m+1 ∫ f(x)dx ＜ ∫ f(m)dx = f(m) m m が成立つ。 (2) はどう利用されるのか見当つかず、興味あり。 証明だけなら？ f(x)は単調減少だが f(x) > 0 にとどまる、という。 ならば、積分 (0) から (1) への増分は、f(1) を超えないはず…という論法でいかが？ (連続・単調減少の f(x) のカーブと細分短冊の略図でも描いて、観察してみて)
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
真ん中の項を長方形の面積の和として考える。 高校生でも証明できるかも？
お礼
分かりました。ありがとうございました。。
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ありがとうございました。。