式変形は必要十分になっているんですか？

質問

a,cを定数とします。ただしa>c>0

教科書の楕円の方程式を求める途中式で、楕円上の点をP（x,y）、焦点をF、F'として
PF+PF'=2a・・・（１）
よって
・・・（略）
すなわち
√{(x-c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}・・・・・（＊）
二乗して・・・
（略）
b=√(a^2-c^2)として
x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・（２）

逆に（２）を満たす点は（１）をみたすからこの点は楕円上・・・

みたいに求めてました。
これって（１）から（２）まで必要十分条件でもとめてるってことですよね？
そこで超初歩的な質問なんですが、
（＊）の部分の

√{(x-c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}
とそれを両辺２乗した
[ √{(x-c)^2+y^2} ]^2　=　[ 2a-√{(x+c)^2+y^2} ]^2
はなぜ同値になるんですか？前者なら後者というのは分かりますが、
後者なら前者というのがいまいち分かりません・・・・
A^2=B^2からは、A、Bともに同符号でないとA=Bではないのではないんですか？？
なのに後者の 2a-√{(x+c)^2+y^2} の部分はx,yによっては負になるかもしれないのでは？？？

数学苦手なので意味不明な質問かもしれませんけど教えてください。
教科書の内容が分かってないということでしょうか。だとしたら一体どこからやり直せばいいのやら・・・

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

問題ない。

心配しているのは両辺の2乗したことで
√{(x-c)^2+y^2}=2a-√{(x+c)^2+y^2}
だけでなく
√{(x-c)^2+y^2}=√{(x+c)^2+y^2}-2a
を意味する式が出てこないか、ということだろうがa>c>0である限りこの式は成り立たない。
2番目の式は
PF=PF'-2a　　→PF'-PF=2a　　(☆)
ということになるが、三角不等式から|PF'-PF|≦FF'=2cとなるためa>c>0である限り(☆)式はなりたたない。つまり、2乗した式でもともとの符号が逆のパターンは存在し得ないため出てこない。

もしc>a>0であれば逆のことが言え、PF+PF'=2aとなるPが存在しない。そのため同じ式を解くと符号が逆のものだけが出てくることになる。これは双曲線の式になります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

spring135

もちろん計算をすすめた後で
2a-√{(x+c)^2+y^2}≧0を確認する必要があります。

PF+PF’＝2a
PF>0かつPF'>0
という条件と同値です。
楕円上の点はこれらを満たしていることを図を描いて確認してください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

hrsmmhr

（(*)の前者）→（(*)の後者）となっており
（(*)の計算前の解）⊂（(*)の計算後の解）が成り立ちます
つまり計算後の式から求められる条件は
計算前の解以外の解も含む大きな条件として出てくることになります
同値であることを示すには
その求めた条件を仮定して問題の条件が満たされるかどうかを確認します
満たされなければ別の式変形をして条件を増やして制限を増やしていく必要があります

お礼

ありがとうございました。