台形と平行四辺形の定義について

質問

恐れ入ります。

台形と平行四辺形の定義について、学校とインターネットで結論が統一されていないようで、
詳しい方に伺いたいと思います。

焦点は、台形の定義を、
(1) 「一組以上の向かい合う線が並行」とするか、
(2) 「一組のみ（2組はNG)の向かい合う線が並行」とするかに依存していまして、

学校やこどもちゃれんじでは(2)となっており、wikipediaでは(1)となっています。

追加では、長方形と正方形の定義でも同じようなことが言えるかと思います。

この違いは、すでに統一されているものなのか、
判断者によって(1)と(2)に揺らいでしまって良いものかを伺えれば幸いです。

回答No.2

cipher_roy · ベストアンサー

２組とも平行な場合でも、台形ではあります。

台形は「一組以上の向かい合う線が平行」を満たすもの全てを認めてよいことになっています。

平行四辺形は、台形として認められる形のうちさらに２組とも平行なものを指しています。

これは長方形と正方形の関係と同じことで、正方形は、長方形のうちさらに４辺とも同じ長さのものを指す、ということです。

さらに、直角三角形と二等辺三角形と直角二等辺三角形の関係でも同様なことがいえます。

直角二等辺三角形は直角三角形の一部の特殊な形であり、二等辺三角形の一部の特殊な形である、という
訳です。

小学校などが後者の方針を取りたがるのは、先生が児童たちに質問された時にこれらをきちんと回答してやれないことが多く、だったら『同じにしちゃいけないことにしてしまえ』と教育委員会が（建前はゆとり教育用に改訂するということで）手抜きしたものです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

こどもちゃれんじまでも私と違う回答であったので、かなり不安でしたが、
私の心と同じ方がいて嬉しく思いました。

たしかに、二等辺三角形もそうですね＾＾；

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

小中学校の定義は知りませんし、定義はどちらでも可能ですが
(1)の方が数学らしい定義ですね。

実際台形の性質を議論するとき、台形が平行四辺形に
なりうることを考慮せずに議論するはずです。

(1)のように定義すると,台形の様々な性質や定理が、
平行四辺形でも成り立つことを示すことができますが、

(2)のように定義したら、議論する際、常に例外
を気にする必要があってうんざりするでしょうね。

(2)のような定義を数学では「美しくない」といいます(^^;

お礼

ご回答ありがとうございます。

おっしゃるとおり、１の方が美しいと思います。
（勉学に長けているわけではございませんが、何かそのような気がいたします。）

回答No.6

boiseweb

こういう質問が出てきたら，たいてい「(1) が正しい定義だ，(2) は間違いだ」という意見が主流になるのは予想できますが，私はあえて反主流の論陣を張ります．

私の意見の骨子は次のとおりです．
========
(a) 台形の定義は，文脈によって(1)(2)のどちらが採用されてもかまわない．文脈を超えてどちらかに統一することは，そもそも必要ない．
(b) 小学校算数という限られた文脈で(2)の定義を採用するのは，それはそれでひとつの立場．
(c) 中学校以上のレベルでは，「用語の定義は文脈によって変化しうるので，文脈ごとに，議論を始める前に『その文脈での定義』が何かを確認する習慣をつけよ」という，議論の姿勢を教育することこそが，真に重要．
========

数学の価値観（抽象化したときの自然さ，統一性を重んじる）では，台形の定義として(1)を採用するのが合理的であることは明らかです．その意味で，中学校以上の数学教科書やWikipediaに書くときに(1)を定義とするのは，順当な立場です．私はこのことに文句を言う気は全くありません．
一方，数学の理論体系を離れて，日常における言語的感覚を重視するなら，(2)を定義と考える立場にもそれなりの妥当性があります（この感覚は，長方形と正方形を考えるとより強まるでしょう）．「日常における言語的感覚」という価値観を排除して「台形の定義は（いかなる文脈においても）(1)でしかありえない」と断言するのは，数学の価値観に染まりきった人々の偏見といえます．

さて，小学校算数という限られた文脈で，「数学の価値観」「日常における言語的感覚」のどちらを重視すべきか？ そのうえで，台形の定義を選択する際に，これらの異なる価値観からくる見解の相違に，どう折り合いを付けるべきか？ 私はその答えは明らかではないと思います．
小学校算数の目的は抽象数学への導入がすべてではありません．一般社会における数や図形などの数的対象の扱われ方を知ることは小学校算数の重要な目的のひとつです．台形の定義を(1)と断言する理由がただ数学的合理性だけだとしたら，その考えは浅薄だと思います．

上述の理由で，私の見解としては，小学校算数での台形の定義は(1)(2)の「どちらでもあり得る」と考えます．
現実が(2)だとしたら，それを「正しい」とか「ふさわしい」などと私は断言しませんが，「それはそれで一つの立場だ」とは思います．
ただし，(2)を採用した場合，中学校数学に進んだ段階で(1)の定義に移行するために手戻りが生じますが，私は，この手戻りは許容されると考えます．

私が重要だと思うことは，台形とか長方形とか個々の用語の定義を議論することではなく，「そもそも用語の定義は文脈によって変わりうるものだ，だから，議論を始める前に定義を明確にすることが，数学においても日常においても重要だ」という考えを「議論のしかたの基本」として教育することです（この思想が徹底されれば，台形でもなんでも「定義はどちらであるべきか」などという不毛な争いはしなくて済むのです！）．
そして，それを教育するのにふさわしい発達段階は，中学校以降だと思います．だから，小学校では算数の用語の定義は「その場限りの方便」として決めておいて，それが中学校以降で変更されてもかまわないと考えます．「議論を始める前に定義を確認すべし」という姿勢が徹底されれば，当然，小学校での定義から新しい定義への変更に対応できるからです．

お礼

ご回答ありがとうございます。

私も、同じようなことに思いを抱きましたので、とても共感するところでございます。
（私自身の考える定義１が間違っているのでは・・という心もございましたが）

おっしゃるとおり、定義１と２については、
日常的な使われ方を想定すると２に該当するケースもあると思います。
長方形というより正方形と言ったほうが分かりやすく伝わることもあるかと思います。

そして、これが日常の出来事であれば、その範囲・・・つまり人の解釈に依存するという事で、
問題ないかと思います。

しかしながら、事試験という「是か非」という２択で選択すべき場においては、
論理的、且つ数学的に正しい答えを答えとすべきではないか・・・とも思うところでございます。

もし、日常的な使われ方を是をする場合、１＋１という簡単な話も、
「人が２人になったからといっても、２人分の力を発揮するとは限らない」などの解釈が可能になり、
結果として、数学という範囲を超えてしまうのではないか。。ということも心配でございます。

もっとも、私が心配する程度のことは、すでに学校やこどもちゃれんじの関係者においても
議論はなされているのかと思い、
結果として、「私の考える定義１は間違っているのではないか・・」
という思いに至り、ここに質問させていただいたのでございます。

この度のご質問について、「試験や問題で提出されたもの」と付け加えておらず、
日常的なことまで想定くださり、お詫びと感謝の心でいっぱいでございます。

本当にありがとうございます。

回答No.5

kenjoko

No.４です。補足があります。

平行四辺形：四辺形で、二組の向かい合う辺が並行である。・・・・・・(1)
　　　　　　または、向かい合う角の大きさが等しい。・・・・・・・・(2)

(2)は、向かい合う辺の長さが等しく、向かい合う角の大きさが等しい。・・・とします。

他にも、隣り合う内角の和が１８０度である。・・・ETC.

お礼

ご回答ありがとうございます。
また、図まで投稿していただきありがとうございます。

私も、平行四辺形は、台形の中の１要素として捉えておりましたが、
学校の回答にびっくりしておりました。

ありがとうございます。

回答No.4

kenjoko

さまざまな四辺形の定義を理解していないものが、多いようです。
学校でもくわしく教えていないようです。

四辺形　⊃　台形　⊃　平行四辺形　⊃　ひし形　⊃　正方形

平行四辺形　⊃　長方形　⊃　正方形

ざっと、定義を並べてみると

台形：四辺形で、少なくとも、一組の向かい合う辺が並行である。

平行四辺形：四辺形で、二組の向かい合う辺が並行である。・・・・・・(1)
　　　　　　または、向かい合う角の大きさが等しい。・・・・・・・・(2)
　　　　　　または二組の向かい合う辺の長さが等しい。・・・・・・・(3)
(1)～(3)のどれか一つを満たせばよい。(1)から平行四辺形は台形である。

ひし形：平行四辺形で四辺の長さが等しい。

長方形：平行四辺形で内角の一つが９０度である。
（内角の一つが９０度であれば残りの内角も９０度になる）　

正方形：四辺の長さが等しく内角の一つが９０度である。
　（内角の一つが９０度であれば残りの内角も９０度になる）
よって、正方形はひし形である。
　または、四辺の長さが等しく、二組の向かい合う辺が並行である。
よって、正方形は長方形である。　　

※いずれも逆は成り立たない。みなさん早いのでかぶったらごめんなさい。

回答No.3

noname#157574

台形の定義はもちろん(1)が正しい。平行四辺形は(1)の特別な場合(2組の辺が平行)。
以上のことはベン図をかけば分かる。小学校から集合に関する内容を組み込むべきだな。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ベン図がわからく、検索して調べてみました。

重複状況を図式するものでしょうか。
長方形と正方形を説明するときに、子供にこれで説明した記憶がありました。

回答No.1

NNori

定義は(1)です。
小学生で、図形を勉強している間は(2)です。どうしてかというと、平行四辺形を見て「台形」と答えても不正解にするためです。
数学や科学は、段階的なものなので初歩のときからきっちりした定義をすると学習の邪魔になることが多々あります。例えば円周率はおよそ３から３．１４になりπになるようなものです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
定義は１なのですね。安心いたしました。

子供に聞かれた時に答えた私の回答と、学校の回答やこどもちゃれんじの回答が異なっており、
私が間違っていたのかと思ってしまいました。。

円周率のように、他と競合しないものであればよかったのですが、
このケースは、ちょっと行き過ぎた簡略化な気がしました。。