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平面図形Xにおいて、平面内の開集合VとWが存在して、 X∩V≠∅,X∩W≠∅,V∩W＝∅,X⊂V∪W が成り立つとき、Xは不連結であるという。不連結でないとき、連結であるという。 X＝{(t,sin(1/n))|0＜t＜1}, Y＝{(0,t)|-1≦t≦1} であるとき、X∪Yは連結であるが弧状連結ではないことを示せ。 (有名問題らしいので証明も詳しくお願いします。)
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ｆを集合Xから集合Ｙへの写像、ｇを集合Ｙから集合Ｚへの写像とする。つぎを証明せよ。 １、ｆおよびｇが単射ならばｆとｇの合成ｇｆも単射である。 ２、ｆおよびｇが全射ならばｆとｇの合成ｇｆも全射である。 ３、｜Ｘ｜＜＿｜Ｙ｜で｜｜＜＿｜Ｚ｜ならば｜Ｘ｜＜＿｜Ｚ｜である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。
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（R^n,d)を距離空間としＡとＢをR^2の部分集合とする。ＡとＢに対して、 集合Ａ+Ｂを Ａ+Ｂ＝｛a+b|a∈Ａ，b∈Ｂ｝で定義し、 Ａの点aとＢに対して、集合a+Bを a+Ｂ＝｛a+b|a∈Ａ，b∈Ｂ｝ で定義する。 このとき次の問いに答えよ。 ただしR^nの２点x=（x1,x2,…,xn) y=（y1,y2,…,yn)に対して d(x,y)={Σ(xi-yi)^2}^1/2 とする。 （１）Rの点xに対して,ｘの近傍をN(x,ε)で表すときN(x+y,ε)=x+N(y,ε）を証明せよ。 （２）ＢがR^nの開集合であるとき集合A+BもR^nの開集合であることを証明せよ。 （３）ＡがR^nの閉集合、B={b1,b2,…,bn}であるとき、集合Ａ+ＢがR^nの閉集合であることを 証明せよ という以上の問題なのですが、（１）はイメージできるのですが証明がうまくいきません。 （２）（３）はさっぱりです。 どなたか教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。
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平面図形Xにおいて、 Xの任意の２点pとqに対して、 X内の折れ線でpとqを結ぶものが存在する とき、Xが弧状連結であるという。 X＝{(x,y)|1≦lxl≦2,lyl≦2}∪{(x,y)|lxl≦2,1≦lyl≦2} とする。Xが弧状連結であることを示せ。
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補足
おそらく位相空間だと思います。 詳しい指定はないので詳細は… d(x,0)＞2となることを示せばいいみたいです。 d(x,0)はxから0までの距離を表してます。