数列について

質問

数列についての質問です。

a_(n+1) = α*a_(n)

という漸化式がどうやって

a_(n) = a_(1)*α^n-1

と、なるのか分かりません。
説明お願い致します。

回答No.1

KEIS050162 · ベストアンサー

等比数列の初歩となります。そのまま覚えてしまうのが良いですが、理屈がわからないと覚えられませんので、
下記を参考にしてください。（教科書・参考書にも載っていると思います。）

http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6540

具体的な例でも考えてみましょう。

a_(n+1)　＝　α　a_(n)　なので、公差はαです。　例えば　α＝２としてみます。
a_(1)　は初項となります。仮にこれを　a_(1) ＝　３と置いてみます。

a_(1)　＝　３
a_(2)　＝　６　　　…　３　×　２
a_(3)　＝　１２　　…　３　×　２　×　２
a_(4)　＝　２４　　…　３　×　２　×　２　×　２
…

と続きます。
即ち、初項　×　２の（ｎ－１）乗　となっているのが分かりますね。

ご参考に。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

okormazd

左辺　　　　　　右辺
n　　　a_(n+1)　　　　α*a_n
------------------------
1　　　a_2　　　=　　　α*a_1　
2　　　a_3　　　=　　　α*a_2
3　　　a_4　　　=　　　α*a_3
・　　　　　　　　・
・　　　　　　　　・
・
n-1　a_(n-1)　=　　　α*a_(n-2)　　
n　　　a_n　　　=　　　α*a_(n-1)
------------------------

左辺を全部かけたもの=右辺を全部かけたもの
ですね。
したがって、
a_2*a_3*a_4*・・・*a_(n-1)*a_n=α*a_1*α*a_2*α*a_3・・・*α*a_(n-2)*α*a_(n-1)
=α^(n-1)*a_1*a_2*a_3・・・*a_(n-2)*a_(n-1)
です。

両辺を、a_2*a_3*a_4*・・・*a_(n-2)*a_(n-1)
で割れば、

a_(n) = a_(1)*α^n-1

になるでしょう。

お礼

お礼遅れました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

spring135

a_(n+1) = α*a_(n)

一個づつずらして
a_(n) = α*a_(n-1)

a_(n-1) = α*a_(n-2)

.......

a_(3) = α*a_(2)

a_(2) = α*a_(1)

右辺どうし、左辺どうしかけて

右辺、左辺の共通分を消して

a_(n+1) = α＾ｎ*a_(1)

一個ずらして

a_(n) = α＾(n-1)*a_(1)

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。