この問題が分からないので教えてください

質問

半径ａ[ｍ]の無限長導体棒がある。この導体に単位長当たりλ[C/m]の電荷を与えた。導体の中心から半径ｒ[ｍ]離れた位置の電位を求めよ。ただし、電位の基準点を導体の中心からｂ[ｍ](ｂ＞ｒ)離れた点とせよ。

参考書とかで調べたのですが分からなくて非常に困ってます。

どうかお願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

導体の性質には「静電場中において導体内部の電場は0，導体内部の電荷も0」ていうのがありますが，これによると，単位長さあたりλ[C/m]の電荷をこの導体に与えると，この電荷は導体表面のみに分布します．

で，考えている系は軸対称ですので，導体棒の軸を中心とする，半径r[m]，長さΔl[m]の円筒を考えれば，円筒の上下底面での電場は0ですし（もし電場が0でないなら，対称性より電場は真上か真下を向くことになるが，この系は上下対称なので真上を向く理由も真下を向く理由もない），この円筒側面上で位置によって電場が異なる理由はありませんから（対称性）電場の強さをE（円筒外向きを正とする）と置くと，ガウスの法則により

0 ≦ r < aのとき
2πr Δl・E = 0
∴E = 0 (導体の性質よりほとんど自明).

a < rのとき
2πr Δl・E = λ Δl/ε0
∴E = λ/(2πε0 r).

以上のようにして，まず電場を求めます．
あとはこれを積分して電位を求めるのですが，電位の連続性に注意して，基準点側から積分していかなきゃなりません．

求める電位をφ(r)と置くと，

a ≦ rのとき
φ(r)
= -∫[b,r] E(r') dr'
= -{λ/(2πε0)} ∫[b,r] dr'/r'
= -{λ/(2πε0)} log(r/b)
= {λ/(2πε0)} log(b/r).

0 ≦ r ≦ aのとき
φ(r)
= -∫[b,r] E(r') dr'
= -∫[b,a] E(r') dr' - ∫[a,r] E(r') dr'
= {λ/(2πε0)} log(b/a) - 0
= {λ/(2πε0)} log(b/a).

# というか，導体棒内部で電場は0なんだから，導体棒全体が等電位で，その導体棒内部の電位の値は導体棒表面の電位の値そのもの．

以上より，求める電位は
φ(r) =
{λ/(2πε0)} log(b/a)　(0 ≦ r ≦ a)
{λ/(2πε0)} log(b/r)　(a ≦ r)

お礼

非常に分かりやすい解説ありがとうございました。

本当に助かりました。