因数分解の整理について

質問

自分が不得意な質問をされて困っています。
因数分解について質問されたのですが、明日後輩がテストで出題されるそうで、本日中に答えてあげたいので投稿させていただきました。

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

という式についてです。
最終的な解は

=-(a-b)(b-c)(c-a)

というようにわかっています。
その前の段階で普段聞かない作業を後輩がしていました。
「整理」
というそうです。

前段階で、
=(b-c)(a-c)(a-b)

という解が出ています。
それを整理して最終的に「=-(a-b)(b-c)(c-a)」という解を出すそうですが、

なぜその様なことをしなくてはならないのでしょうか。
解が出る過程も含めて解説していただけると嬉しいです。

低脳で数学に詳しくなく、よくわからない文章になってしまいましたが汲み取っていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

結論から言えば, 「(b-c)(a-c)(a-b)」の時点で止めても本来は OK です... まあ, 普通はアルファベット順に
(a-b)(a-c)(b-c)
と書きそうだけど (もちろん「因子の順序が違う」だけだからどちらでも問題なし).

んで, なんで「-(a-b)(b-c)(c-a)」としてるかというと
3変数だから a→b→c→a の順に回ってるときれい
くらいの意味しかありません. 3変数の特殊事情です.

上に書いたように (b-c)(a-c)(a-b) や (a-b)(a-c)(b-c) でも本来は問題ありません (ただし教員が強調する場合はあきらめてそれに従うのが吉) し, 2変数 (だったらそもそも因数分解が不要だけど) や 4変数以上だと不可能なので, 本来重要視するところではありません.

お礼

わざわざこのような質問に答えていただきありがとうございます。
数学の理想の部分がよくわからなかったので、今回はそれが理解できました。
並べ替える必要性についても学ぶことができました。
ありがとうございます！

補足

ということは特に理由なく、綺麗に回っているので、という解釈でよろしいのですね？^^
特殊事情か！ふむふむ。
わかりました！
ちなみになんですれども・・・
(b-c)(a-c)(a-b)
の式が
-(a-b)(b-c)(c-a)
になる過程とかって教えていただけますでしょうか？；
阿呆ですみませんです。

回答No.4

Knotopolog

＃１さんは，あきれて，答えてくれないかも知れませんので，
代わりに，お節介しましょう．

＞(b-c)(a-c)(a-b)
＞の式が
＞-(a-b)(b-c)(c-a)
＞になる過程とかって教えていただけますでしょうか？；

は，「過程」なんて，大げさなものじゃなくて，単に，見易く，語呂を良くするために書き換えただけです．すなわち，

３×４×２　を　２×４×３　に書き換えるのと同じ意味で，
まず，
(b-c)(a-c)(a-b)
の (a-b) を前に持ってゆき，
(a-b)(b-c)(a-c)
に書き換えます．次に，(a-c) の a と c を入れ替えたいために，
(a-c) を -(c-a) と書きます．その結果，
(b-c)(a-c)(a-b)
が
-(a-b)(b-c)(c-a)
となります．
ご理解頂けたでしょうか？

お礼

わざわざ補足にもお答えいただきありがとうございます。
自分の阿呆さ加減にも泣けてきました。
これからは苦手分野も勉強しなきゃですね・・・。
過程の話はよく理解できました。
わざわざありがとうございました！

回答No.3

alice_44

その「整理」は、多分に趣味的だなあ。
余計なことをする途中で書き間違いをしなければ、
やっても別に構わないが、
やらなければならない理由は何も無い。
貴方の答えが好きか、後輩氏の答えが好きかは、
単なる趣味の問題。
中学高校あたりには、たまに、自分の趣味を
生徒に強要する先生がいたりするから、
その手の先生のテストでは、気をつけなくてはならないが。

因数分解の過程は簡単。
式を眺めていると、a と b に同じ値を代入したとき
式の値が 0 になることに気づくから、
与式は (a-b) で割りきれると判る。
(a-c) や (b-c) についても同様。
よって、与式は (a-b)(a-c)(b-c) で割りきれるが、
三次式÷三次式なので、商は定数になる。
a,b,c に何か値を代入して、その定数を決めれば完了。

あるいは、a の二次式として降巾に整理して、
共通因数 (b-c) を括り出すだけでもできる。

お礼

先生によって導き出すべき解が違うというのは、少し変ですね。
指導については文科省が定めているように思うのですが、そこまでは文科省の管轄外ということでしょうか・・・。
お答えいただきありがとうございました！

回答No.2

nattocurry

> (b-c)(a-c)(a-b)
> の式が
> -(a-b)(b-c)(c-a)
> になる過程とかって教えていただけますでしょうか？；

(a-c)=-(c-a)
なので、

(b-c)(a-c)(a-b)
=-(b-c)(c-a)(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a)

お礼

過程のところをわざわざ答えていただいてありがとうございます。
理解できました。
分配？の部分も一緒に、これから勉強したいと思いますorz
ありがとうございました！