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単振動の法手式と基準振動
jamf0421の回答
そもそも∂をaとかいたら主旨不明の質問になります。 ∂^2u/∂t^2 = (T/σ)(∂^2u/∂x^2)...(1) ならこれは波動方程式です。質問者さんは式の最後の部分をa^2xと書いておられますが、これは∂x^2であろうと思います。 u=fcos(ωt+φ)...(2) としたのですから ∂u/∂t=-(fω)sin(ωt+φ) ∂^2u/∂t^2=-(fω^2)cos(ωt+φ)...(3) ∂u/∂x=f'cos(ωt+φ) ∂^2u/∂x^2=f"cos(ωt+φ）...(4) です。 境界条件はx=0, x=Lで固定ですから f(0)=0, f(L)=0...(5) です。 (3)と(4)を(1)に代入すると -(fω^2)cos(ωt+φ)=(T/σ)f"cos(ωt+φ） すなわち f"=-(w^2σ/T)f...(6) となります。 ω√(σ/T)=k...(7) と書くと(6)は f"=-k^2f...(8) となります。これがf(x)が満足すべき微分方程式です。(8)を解けば一般解は f=Asinkx+Bcoskx...(9) となります。f(0)=0よりB=0となり、f(L)=0よりAsinkL=0ですから kL=nπ 即ち k=nπ/L...(10) となります。結局 f(x)=Asin(nπx/L)...(11) です。それでu=fcos(ωt+φ)ですから u=A(sin(nπx/L))(cos(ωt+φ))...(11) となります。ここでωは(7)より ω=k√(T/σ)=(nπ/L)√(T/σ)...(12) です。(12)からωはnにより無数にあることになります。線型微分方程式は異なるnに対する全ての解を重ね合わせることが出来ますから解としては u=ΣA_n(sin(nπx/L)(cosω_n+φ) ということになります。 この内容なら勉強には古典ですが、スレーターとフランクの本「理論物理学入門」（井上健 訳）がぴったりです。
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お礼
ご親切に詳細にわたる解説ありがとうございます。 まずは微積とと教えていただいた本を借りて勉強しようと思います。 本当にありがとうございました。