半径の求め方

質問

欠円（っていうんだと思うのですが。）があります。
円弧の長さが1000mm
弦を基準とした円弧の高さは200mm。

この曲線の半径を知りたいのですが・・。
どなたか教えてください。

回答No.5

DASS

私もよくわからないので補足要求です。

まずは、円を線分（弦）で区切って、大きい方を「欠円」と呼んでいるのですよね？

たとえば、Ｘ＝０，Ｙ＝７５ｍｍの点を中心に半径１２５ｍｍの円を描き、Ｘ軸で切ったとき、

１）「弦を基準とした円弧の高さ」は、

　　　　弦から円の一番高いところ、
　　　　すなわち、
　　　　Ｘ軸からＹ軸と円との交点までの
　　　　７５＋１２５＝２００ｍｍというわけですか？

そして、

２）「円弧の長さ」は、

　　　　円とＸ軸上のマイナス側との交点から、
　　　　第２象限（左上側）をぐるりとまわり、
　　　　Ｙ軸と交差し、
　　　　第一象限（右上側）を右下に降りてきて、
　　　　再びＸ軸と交差する点までの距離
　　の事ですか？
　　　　（およそ５５３．５７ｍｍと計算しました）
　　　　ひょっとして、弦の長さも足して７５３．５７ｍｍというのが「円弧の長さ」ですか？

これが正しいとして・・・（違っていたらスミマセン）

一番欠損が少ない場合：

　Ｘ＝０，Ｙ＝１００ｍｍを中心に半径１００ｍｍの円を描き、Ｘ軸で切る。
　　欠損はほとんど（というか完全に）０ですが、
　　このときの円の直径は２００ｍｍですから、
　　円周（円弧の長さ）は、６２８ｍｍ程度ですよね。
　　弦の長さは０ですから、足しても６２８ｍｍですね。

一番欠損が大きい場合：

　　原点を中心に半径２００ｍｍの円を描き、Ｘ軸で切る。
　　欠損は半分もあります。
　　この場合、円弧の長さは半径２００ｍｍの円の上半分ですから、
　　６２８ｍｍとなります。
　　もし、弦の長さを足すのであれば、
　　６２８＋２００＋２００＝１０２８ｍｍ
　　ですね。
　　（これが一番近そうですが・・・）

つまり、半径ｒ＝１００～２００ｍｍの円を、
中心（Ｘ＝０，Ｙ＝２００－ｒ）の座標で描き、
Ｘ軸との交点を求めて、扇の角度を出し、
円周の長さを計算させることで、
求められるのではないかということですが、
いかがでしょうか？

エクセルで解かせたら、
　半径＝１９１．１１５４ｍｍ
と出ました。
ちなみに、
　円弧の長さ＝６１８．１８２４ｍｍ
　弦の長さ　＝３８１．８１７６ｍｍ
でした。

回答No.4

biwamaru

はじめまして　nextromさん
多分　私が６５９７８１で質問させていただいた内容と同じだと思いますので、参考までにお知らせします。

２週間ほど経ちますが、この問題の解答を見出す計算式としては、もう１点（弦の長さか角度）がどうしても必要だと考えます。

したがってエクセルとかで、その１点の仮の値を変化させ近似値を見出すしかないように思います。

ご参考になればよろしいのですが・・・。

回答No.3

--min2--

公式集を見ていたらこういうものが載っていました。
展開の方法や論理的なものは分かりませんが、
展開さえ出来れば解けると思います。

半径Ｒ、円弧Ａが分かっていて
高さＶが分からないときの公式。

V=2Rsin^2(A/4R)

と言うものが載っていました。
参考にならなかったらごめんなさい。

回答No.2

grothendieck

nextromさん、こんにちは。長さの単位を(m)とします。半径をr、中心から円弧を見込む角をθとすると
　rθ = 1
　r - rcos(θ/2) = 0.2
これからrを消去すると
　cos(θ/2) = 1 - 0.2θ
という超越方程式になるので数値的にしか解けません。
　θ = 2 arccos(1-0.2θ)
と変形して反復法で解くと、
　θ = 1.699904(rad),　r = 0.5882685(m)
となりました。ご参考までにプログラムを書いておきます。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
int main(void){
double pi,x,y;
int i;
pi=3.141592635;
x= pi/2.0;
printf("%20.10f\n",x);
y=x;
for (i=0; i<40; i++){
y= 2.0*acos(1.0 - 0.2*y) ;
printf("%13.10f\n",y);
}
return (0);
}

収束はかなり遅いです。たぶんニュートン法の方が収束は早いでしょう。本当はこれが収束することを言わなければなりません。多分縮小写像の原理で証明できると思いますので試してみて下さい。

回答No.1

hinebot

単位は省略しますね。

円の中心をO,円弧の両端をA,B　ABの中点をC,OCを延長し、円と交わる点をDとします。
>弦を基準とした円弧の高さは200mm。
これは、CD=200 ということで宜しいでしょうか。

>円弧の長さが1000mm
これは円弧で間違いないですか？　弦の長さ(ABの長さ）じゃないですか？

弦の長さであるなら、
半径をr とすると、
三平方の定理より
OA^2 = AC^2+OC^2
で、OA は半径、AC はABの半分、OC=OD-CD (ODは半径）
なので、
r^2 = 500^2+(r-200)^2
という式が成り立つので展開して解くと
r = 675
となります。

あくまで円弧である場合は…　もうちょっと考えます。

補足

弦ではないんです。
円弧です。

宜しくお願いします。