2点と半径から、中心座標と円弧を描く方法

質問

標記件、以下を満足させる式はどのように導けばよろしいでしょうか？ご教示下さい。

（INPUT）
　・始点と終点の2点のXY座標
　・半径ｒ

（OUTPUT）
　・中心点座標
　・2点を結ぶ円弧の関数

なお、中心点と円弧は２つ出来るかと思いますが、どちらでも結構です。判別基準があれば教えて頂きたく。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

masuda_takao · ベストアンサー

No.1 さんのご回答における代数的な部分を、若干修正します。

　与えられた２点を Ａ(a_1, b_1), Ｂ(a_2, b_2) とします。
　求める円の中心の座標は
(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 ＝ r^2
(x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 ＝ r^2
...なる連立方程式の解として求まります。
　その解は２組あり、それを Ｐ(p_1, q_1), Ｑ(p_2, q_2) とすると、求める円弧の式は
(x - p_1)^2 + (y - q_1)^2 ＝ r^2
(x - p_2)^2 + (y - q_2)^2 ＝ r^2
...の様になるはずです（実際には、これらの各々に、各点Ｐ、Ｑが直線ＡＢに関してどちら側にあるかに関して定まる不等式を連立させることになりますが）。

お礼

ご回答ありがとうございました。

いろいろやってみましたが、
最初の2式をそれぞれXとYで微分すると、
2つの原点座標が出てきました。
（詳細はよく解っていませんが・・・^^；）

補足

すみません、微分で出てきた座標は間違いだったようです。。

回答No.3

dig88

＃２で投稿した者です。

（３）の表現が間違っていることに気付きました。

（３）円弧を左周りに作画すると決めましたから
　　　弦の中点から垂線を　　、
　　　ベクトルＡをベクトル始点で
　　　　９０度回した方向に長さh伸ばしたのが小円弧中心で
　　　　マイナス９０度回した方向に長さh伸ばしたのが
　　　　　　大円弧中心です。
　　　この中点から伸びるベクトルをＢとします。

やっぱり、変な表現です。
すみません。

回答No.2

dig88

たぶん、中学生の数学ではなく、
ＰＣなどで作画するためのプログラムだと思いましたので、
そのように概略をアドバイスします。

円弧は左周りで作画するものとします。
（１）始点を原点として終点のベクトルＡ（弦）を作ります。
（２）弦の中点を通り円中心点に至る垂線の長さhを求めます。
　　　　h=SQRT(R^2-(|A|/)^2)
（３）円弧を左周りに作画すると決めましたから
　　　弦の中点から垂線を　　、
　　　ベクトルAを90度回した方向で長さh伸ばしたのが大円弧中心で
　　　マイナス90度回した方向で長さh伸ばしたのが小円弧中心です。
　　　この中点から伸びるベクトルをＢとします。
（４）ベクトルＡを半分にしたものにベクトルＢを加え
　　　始点座標を加えたものが円中心の絶対座標点です。
（５）円中心点から始点へ伸びるベクトルＣを作ります。
　　　円中心点から終点へ伸びるベクトルＤを作ります。
（６）ベクトルＣを適当な量でプラス方向へ回転させて
　　　ベクトルＤに到達するまで繰返します。
　　　円中心座標とベクトルＣを加えれば打点の絶対座標値です。

平面座標系の回転計算は複素平面を使うほうが便利です。
i（虚数）を乗算すれば９０度回転し、
マイナスiを乗算すればマイナス９０度回転します。

分かり難い説明ですみません。
方法はまだいろいろあります。
「計算幾何学」と表題がついた本を参照してください。

お礼

ご回答ありがとうございました。

複素平面ですね。
ご教示頂き、大変助かります。

回答No.1

fjnobu

幾何学では、始点から半径ｒ円と終点から半径rの円を描きその交点の２つが中心。
代数学では、x1^2+y1^2=r^2とx2^2+y2^2=r^2を解いた２点が中心です。
いずれも、２点が出ます。始点と終点が同じなら、半径rの円上が全ての求める点です。

お礼

ご回答ありがとうございました。