微積…

質問

今積分の問題をやっていて、e^-1/2xの不定積分を求めよ という問題があります。
e^xは積分しても微分してもe^xなのは知っているのですが、
この問題の答えは-2e^-1/2xです。
何故-2をかけるのでしょうか。指数のxに係数がついてるからですか？
どういう数字をかけるか、公式みたいなのはあるんでしょうか…。

また、前に同じような事が微積どちらでもありました。
どういう場合に、今回のように数字をかけるのでしょうか。

説明分かりづらくてすみません。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

合成関数の微分を思い出すとよいです。

Ｆ（ｘ）＝　ｅ^(-1/2・x)
のとき
ｙ＝－１／２・ｘ
と置くと、
ｄｙ／ｄｘ　＝　－１／２
ｄＦ／ｄｙ　＝　ｅ^y

ｄＦ／ｄｘ　＝　ｄＦ／ｄｙ・ｄｙ／ｄｘ　＝　ｅ^y・（－１／２）
　＝　ｅ^(-1/2・x)・（－１／２）
　＝　－１／２・ｅ^(-1/2・x)

つまり、
（ｅ^(-1/2・x)）’＝　－１／２・ｅ^(-1/2・x)
つまり、
（－２・ｅ^(-1/2・x)）’＝　ｅ^(-1/2・x)
つまり、
－２ｅ^(-1/2・x)　＋　Ｃ　＝　∫ｅ^(-1/2・x)ｄｘ

お礼

なるほど！回答ありがとうございました。