高校数学 関数

質問

高校の教科書に場合分けの問題が出てきました。

関数y=x(二乗）-2ax 　（0<x<1) の最大値と最小値を求めなさい。

というよなものです。

この場合、私の場合　０＞a , 0<a<1 , 1<a と場合分けをしたくなるのですが、教科書には

0<a<二分の一,　a=二分の一,　二分の一＜a<1 , a=1　　。

と書いてありました。

このような問題の時の場合分けのルールを教えてください。

あと、できれば、このようなときの場合分けは何個するのが普通なのかも、お願いします。

回答No.2

uchinogako · ベストアンサー

分け方のコツはあります。但し、それを使いこなせるかはあなた次第です。

関数の最大、最小になる得る点は、
(1)頂点　　　　（微積を習った後からは極値）
(2)範囲の両端　（この問題の場合はｘ＝０，１）
しかありません。ですので、この問題の場合、
(1)頂点を求める。
⇒この場合は（ａ，－ａ^２）
(2)範囲の両端を求める。
⇒ｙ＝ｆ(ｘ)として、
ｆ(０)＝０
ｆ(１)＝１－２ａ

　また、２次関数でｘ^２の係数はプラスなので、頂点は最小の可能性はあっても最大の可能性はありません。このことを利用して場合分けをします。

＜最大＞
候補はｆ(０)とｆ(１)。どっちが最大か。比較は不等式。
ｆ(０)＞ｆ(１)　⇒　０＞１－２ａ　⇒　ａ＞１/２
ｆ(０)＜ｆ(１)　⇒　０＜１－２ａ　(計算省略)
ｆ(０)＝ｆ(１)　⇒　０＝１－２ａ　(計算省略)

＜最小＞
候補はｆ(０)とｆ(１)と頂点。
頂点：範囲(０＜ｘ＜１)の中に頂点があるようにする。
⇒　０＜ａ＜１
ｆ(０)とｆ(１)の最小は、最大と考え方は同じで、手順は最大のときと逆。

この結果を全て書き並べて模範解答の範囲と見比べてください。なぜａ＜１/２が出てくるかも分かりますよ。

　この程度の考えは高校生なら必須です。面倒と思わず、丁寧に書く癖をつけましょう。

お礼

ありがとうございます。

なんとなくですが、わかった気がしてきました。もう一度解きなおしてみようと思います。

回答No.1

kabaokaba

＞このような問題の時の場合分けのルールを教えてください。
＞
＞あと、できれば、このようなときの場合分けは何個するのが普通なのかも、お願いします。

そんなものはありません．
なんでもかんでもルールや公式があるというのは大間違いで，
どうして教科書のように場合わけをしているのか
その理由を理解しない限り
この手の問題は解けるわけがありません．

きちんと図をかいたり試行錯誤しましたか？
この問題の場合，グラフを書けば場合わけはすぐ見えます．

お礼

ないんですか・・・・・・。（ちょっと残念。って、ルールがあれば教科書に書いてあるはずですよね）

一応、自分なりの解釈をしようと努力はしているんですけど。どうして二分の一が出てくるのか、さっぱりなんです。

理由を教えてはもらえないでしょうか？

（一応、グラフは書いてます）