高校数学の問題…

質問

こんばんは。

高校数学の問題でちょっと分からない所があったのですが、
次の問題です。

二次関数 y=x^2－2ax＋3の 0≦x≦4における最大値、最小値を次の各々の場合について求めよ。

(1)a≦0のとき
(2)0<a<2のとき
(3)a=2のとき
(4)2<a<4のとき
(5)4≦aのとき

辛うじて(3)は分かるのですが、どうも不等号の場合が分かりません。
強いて言うならば、そのプロセスが分かりません。
お暇な方で、分かる方、回答を頂ければ幸いです。

回答No.5

debut · ベストアンサー

とにかくグラフをかいてみるのが一番です。
放物線が軸に対称であることを頭におきながら、下に凸の放物線
を４つかいてみてください。
すると、最大値は範囲内でのグラフの最高点を見ればよく、最小値
は範囲内でのグラフの最低点をみればいいことになります。

１．頂点が範囲 0≦x≦4の左にある（０より小）パターン
　　・範囲内最高点はｘ＝４のときのｙ＝19-8a
　　・範囲内最低点はｘ＝０のときのｙ＝3　　となりますよね。
２．頂点が範囲内であり、しかも真ん中の２より左にあるパターン
　　・範囲内最高点はｘ＝４のときのｙ
　　・範囲内最低点は頂点ｘ＝ａのときのｙ
３．頂点が範囲内であり、しかも真ん中の２より右にあるパターン
　　・範囲内最高点はｘ＝０のときのｙ
　　・範囲内最低点は頂点ｘ＝ａのときのｙ
４．頂点が範囲の右にある（４より大）パターン
　　・範囲内最高点はｘ＝０のときのｙ
　　・範囲内最低点はｘ＝４のときのｙ

２，３が分かれるのは、頂点のｘ座標がちょうどｘ＝２のとき
範囲内にあるグラフの左右の高さが同じになり、ちょっとでも
頂点がｘ＝２より左に動けば範囲内にあるグラフの右が高くなり
(最大になり）、ちょっとでも頂点がｘ＝２より右に動けば今度は
範囲内にあるグラフの左が高くなって、最大値をとる場所がかわる
からです。
なおａ＝２のパターンは２か３のパターンに含めて考えても
大丈夫です。

この頂点移動とグラフがイメージできれば、このような問題は
楽にいけます。

お礼

なるほど…

とても分かり易い回答ありがとうございました。

回答No.4

nious

#2ですが、グラフを描く時に「軸：x=aについて対称」になる点に注意します。
そうすると必ず分かると思いますよ。

回答No.3

take_5

y＝f（x）＝x^2－2ax＋3として、0≦x≦4における最大値、最小値を考える。
f（x）＝x^2－2ax＋3＝（x-a）＾2+（3－a＾2）であるから、軸の位置によって最大値も最小値も変わる。
最大値をＭ、最小値をＮとすると、軸の位置を動かしながら、グラフを書いてみて
(1)4≦aの時、　Ｍ＝f（0）、Ｎ＝f（4）
(2)2≦a≦4の時、Ｍ＝f（0）、Ｎ＝f（a）
(3)0≦a≦2の時、Ｍ＝f（4）、Ｎ＝f（a）
(4)a≦0の時、Ｍ＝f（4）、Ｎ＝f（0）

回答No.2

nious

とりあえずグラフを描きましょう。

y=f(x)=(x-a)^2-a^2+3 より、軸はx=aで下に凸のグラフになります。

(1)軸は範囲の「左側」にあるから、最大値：f(4)、最小値：f(0)
(2)軸は範囲内にあり、また範囲の中点2より「左側」にあるから、最大値：f(4)、最小値：f(a)
(3)軸が中点2と一致するから、最大値：f(0)=f(4)、最小値：f(a)
(4)軸は範囲内にあり、また範囲の中点2より「右側」にあるから、最大値：f(0)、最小値：f(a)
(5)軸は範囲の「右側」にあるから、最大値：f(0)、最小値：f(4)

補足

うーん。

丁寧に教えていただいているのに失礼なことを言いますが、
例えば(2)を例にあげると、何故、最大値が4になるのか、
何故最小値がaになるのか、という疑問が自分の中で生まれます。

0≦x≦4　と、与えられたaの範囲で、どう最大、最小値を出していけば
よいのかということが分かりません。

とても面倒な事を聞いてすみません。

回答No.1

lispest

こーゆー問題はaに具体的な値を入れてみて、
グラフがどう動くか書いてみるのが一法です。

つまり、
aに-1,0,1,2,3,4,5,6 と入れてみてグラフがどう動くか見れば
何か見えてくると思います。

この時aは計算が面倒にならないように適当な値を選ぶと吉です。