断熱変化における絶対仕事の導出

質問

式１ ｐｖ∧γ＝ｐ１ｖ１∧γ
式２ ｗ１２＝∫１→２ｐｄｖ
式３ ｗ１２＝ｐ１ｖ１／（γー１）＊（１ー（ｖ１／ｖ２）∧γー１）
式４ 式３＝ｐ１ｖ１／（γー１）＊（１ー（ｐ２／ｐ１）∧（γー１）／γ）

上記式２に式１変形を代入し積分すると式３になります
式３を変形すると式４になります

質問１　式３を導出する過程がわかりません…簡単な積分についてはある程度は出来ますが、指数の扱いが苦手でわかりません

質問２ 式３→式４の変形過程がわかりません

質問３ ついでに質問ですが…教本によると絶対仕事をｗ１２、工業仕事をｗｔと表記しています。ｗの右側に１２、ｔと記載していますがそれぞれに意味はあるのでしょうか？単なる区別だけでしょうか？

蛇足ですが、最近になり高校数学及び熱力学を勉強していますので、出来るだけ解りやすく説明頂ければ幸です

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

＃１です。
∫ｄＶ／Ｖと∫ｄＶ／Ｖ^(１－γ)は同じものではありません。
γ　は比熱比と呼ばれている量です。
γ＝Ｃｐ／Ｃｖ＞１です。
Ｃｐ＝(Ｑ／△Ｔ)p
Ｃｖ＝(Ｑ／△Ｔ)v
Ｑ＝△Ｕ＋ｐ△Ｖ　ですから体積膨張に必要な分だけ余分の熱量が必要です。
１ｍｏｌの理想気体の場合には　Ｃｐ＝Ｃｖ＋Ｒになります。

元々の式１を第一法則の式と理想気体の状態方程式から導くときにはｌｎＶが出てきます。
それと混同しているのではありませんか。

お礼

度々の回答頂きありがとうございます。

回答者さんのご指摘通り勘違い＆見間違いしてました。

回答No.1

htms42

式１　ｐ１Ｖ１^γ＝ｐ２Ｖ２^γ
この式を方程式の形で書けば　ｐＶ^γ＝ｋ　になります。
Ｗ＝∫[1→2]ｐｄＶ＝∫[1→2](ｋ/Ｖ^γ)ｄＶ
　＝ｋ[Ｖ２^(１－γ)－Ｖ１^(１－γ)]/(１－γ)
　＝ｐ１Ｖ１^γ[Ｖ２^(１－γ)－Ｖ１^(１－γ)]/(１－γ)
　＝ｐ１Ｖ１[Ｖ２^(１－γ)/Ｖ１^(１－γ)－１]/(１－γ)
　＝ｐ１Ｖ１[１－Ｖ２^(１－γ)／Ｖ１^(１－γ)]/(γ－１)
　＝ｐ１Ｖ１[１－(Ｖ２/Ｖ１)^(１－γ)]/(γ－１)
　＝ｐ１Ｖ１[１－(Ｖ１/Ｖ２)^(γ－１)]/(γ－１)・・・・式３

ｐ１Ｖ１^γ＝ｐ１Ｖ２^γ　⇒　Ｖ１ｐ１^(1/γ)＝Ｖ２Ｐ２^(1/γ)・・・式３に代入

ｐ△Ｖは力学的仕事と言います。
高校の物理でも出てきますがちからＦを加えて距離Ｌ移動すれば仕事はＦＬであるというものです。
いくら大きな力がかかっていても動かなければ仕事は生じません。
力を加えて物体の高さを変化させると位置エネルギーが増加します。仕事がエネルギーを変化させているのです。物理で仕事と言えば力学的な仕事のことです。「絶対仕事」という言葉は出てきません。
力学的な仕事以外の仕事としては電気的なエネルギーの移動などで形のエネルギーが変化する場合に使います。その場合は当然変数はｐ、Ｖではありません。

「工学仕事」という言葉がどういうものであるかは私には分かりません。
以前に見た書き込みからはＶ△ｐに対して使っている言葉のようだということまでは分かります。
これはエンタルピーＨの変化を△Ｈ＝△(Ｕ＋ｐＶ)＝△Ｕ＋ｐ△Ｖ＋Ｖ△ｐとした時に出てきます。
確かにｐとＶに関係してエネルギーの次元を持つ量になりますが仕事であると言っていいのかは別の問題です。
ｐ△ＶとＶ△ｐをどちらも「仕事」と呼ぶというのはその元になっているｐＶを仕事だとしているからでしょう。でも上でも書いたように仕事はｐ△Ｖです。ｐＶではありません。

手元にあるアトキンスの「物理化学」を見ると
(ｄＨ/ｄＴ)p＝Ｃｐ、　　　
(ｄＨ/ｄＴ)v＝（１-αμ/κT）Ｃｐ　　
　　Ｃｐ：定圧比熱、α：膨張率、μ：ジュール・トムソン係数、κT：等温圧縮率
であると書かれています。（偏微分記号の書き方が分からないので普通の微分記号を使いました。）

お礼

ご説明頂きありがとうございます。

質問ですが
∫１→２　ｋ／ｖｄｖは
ｋ（ｌｎｖ）１→２にはならないのでしょうか？

回答者さんにご説明いただいた∫１→２　ｋ／ｖｄｖを積分する次点ですでに躓いている状態です。
指数の変形が良くわからず、いろいろな公式を調べたのですがわかりませんでした