鉛直投げ上げ公式の導出

質問

鉛直投げ上げの公式である
y=v0t-gt^2/2
の導出過程を教えて下さい。
幾何学的な導出と積分での導出を教えて頂けるとありがたいです。

回答No.2

proto · ベストアンサー

運動方程式を立てたあと、まず最初に両辺をmで割ってしまっていいかなと思います。
m≠0より
　　d^2y/dt^2 = -g

そして、初期条件からCを求めたあと、すぐにCを代入してしまってかまいません。
t=0のときv=v0より
　mv0 = -mg*0+C
　C = mv0
元の式に代入して
　mv = -mgt + mv0
　v = -gt +v0
この方が速度の式として完成していて見やすいですし、意味もわかりやすくなっています。

＞答えが　y=v0t+gt^2/2　になってしまいます・・・。
v-tのグラフを書くと、v切片がv0で右下がりのグラフになるはずです。
もしかして右上がりのグラフを書いてしまってませんか？
鉛直の上方向を正にとってます、重力で下向きに引っ張られますから、上向きの速度はだんだん減少していきます。ですからグラフも時間とともに減少する形になるはずです。

もしグラフはあっているのに答えが違うならば、おそらく計算ミスですね。
台形の面積公式をもう一度確認して、ゆっくり落ち着いて解き直せば大丈夫だと思います。

お礼

返事遅くなってしまってすみません！
丁寧に教えて頂き、本当に参考になりました！
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

proto

鉛直上方向をy軸の正にとって運動方程式を書くと
　　m(d^2y/dt^2) = -mg
これはyのtについての2階微分方程式になってますので、これを初期条件(t=0のときy=0,(dy/dt)=v0)とともに解けばいいです。
具体的には運動方程式の両辺をtで2回積分すればいいだけです。

幾何学的には、等加速度運動の公式(v=v0+at)から縦軸にv,横軸にtをとったグラフを書きます。
v*t=(距離)ですから、区分求積法の考え方から、t=0～t0までのグラフの下の面積がt0のときのyの値になります。
グラフは直線ですから台形の面積の公式を使えば、求める式を導くことができます。

まずは物体にかかっている力の図と、運動方程式、v-tグラフを紙に書いてみてください。
おそらく、ここで導出過程をすべて示してもらってそれを読むだけでは何の力にもなりません。
がんばってください。

補足

贅沢な質問をしてしまってすみませんでした・・・。
自分なりに導出過程を考えてみたのですが、
１つ目に関して、

鉛直上方向をy軸の正にとって運動方程式を表すと、
m(d^2y/dt^2)=-mg
となる。この式を積分すると、
m(dy/dt)=-mgt+C(Cは積分定数)・・・(1)
となる。このとき(dy/dt)=vより、
mv=-mgt+Cからt=0のとき
v0=-C/m・・・(2)
となる。また、(1)式をさらに積分すると、
my=-mgt^2/2+Ct・・・(3)
となるので、(2),(3)式より、
y=v0t-gt^2/2
となる。

という導出でよろしいでしょうか？
何か説明不足というか頭が悪い書き方ですみません・・・。
また２つ目に関しても考えてみたのですが、
答えが　y=v0t+gt^2/2　になってしまいます・・・。
もしよろしければもう少しだけ御教授頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。