領域と命題

質問

問１:Ｐ=｛(ｘ,ｙ)|ｘ^2＋ｙ^2≦１｝，Ｑ=｛(ｘ,ｙ)|ｘ＋ｙ≧Ｋ｝のときＰ⊂ＱとなるようなＫの値の範囲を求めよ。

問２:条件Ｐ：ｘ^2＋ｙ^2＜２と条件ｑ：ｘ＋ｙ＜Ｋがある。条件Ｐが条件ｑの十分条件となるための実数Ｋの値の範囲を求めよ。

よろしくお願いいたします

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

2つの問題の考え方は同じ。

Ｐを座標に描くと、原点を中心とする半径1の円の内部と円周上。
Ｑは傾きが　-1　の直線だから、Ｐ⊂Ｑ　となるにはどうなればよいか。
円の中心（0、0）と直線との距離がどのようになれば良いか？

原点と直線との距離は、点と直線との距離の公式が、そのまま使える。

問２　も、全く同じ考えで解ける。
以上がわかれば、続きは自分でできるだろう。

ｘ^2＋ｙ^2≦１より、x＝r*cosθ、y＝r*sinθ、0≦r≦1、0≦θ＜2π　とする方法もあるが、座標の方がわかりやすいだろう。

回答No.2

muturajcp

問1
P={(x,y)|x^2+y^2≦1}
Q(K)={(x,y)|x+y≧K}
(x,y)∈P
k=x+yとすると
y=k-x
x^2+(k-x)^2≦1
2x^2-2kx+k^2≦1
0≦2(x-(k/2))^2≦{2-(k^2)}/2
0≦2-k^2
k≧-√2
x+y≧-√2
(x,y)∈Q(-√2)={(x,y)|x+y≧-√2}
P⊂Q(-√2)

(-1/√2,-1/√2)∈P={(x,y)|x^2+y^2≦1}
→(-1/√2,-1/√2)∈Q(K)={(x,y)|x+y≧K}
→-1/√2-1/√2=-√2≧K
∴
K≦-√2

問2
P={(x,y)|x^2+y^2<2}
Q(K)={(x,y)|x+y<K}
(x,y)∈P
k=x+yとすると
y=k-x
x^2+(k-x)^2<2
2x^2-2kx+k^2<2
0≦2(x-(k/2))^2<(4-k^2)/2
0<4-k^2
k<2
x+y<2
(x,y)∈Q(2)={(x,y)|x+y<2}
P⊂Q(2)

K<2を仮定すると
x=y=K/2
とすると
x^2+y^2=K^2/2<2
x+y=K
(x,y)∈P-Q(K)→P⊂Q(K)でないから
P⊂Q(K)に矛盾するから

∴
K≧2