行列

質問

条件Ｘ^-４Ｘ+３Ｅ=Ｏ・・・＊をみたすときこのようなｘｙを座標とする点(ｘ、ｙ)の存在範囲を図示せよ。ただし
　　　x　z
Ｘ＝（　　）であり、その成分は実数である
　　　z　y

trＸ=p、detＸ=qとおく
ケーリーハミルトンの定理より
Ｘ^2＝pＸ-qＥ
＊に代入して
(p-4)Ｘ-(q-3)Ｅ＝Ｏ
(i)p-4=0のときq-3=0⇔x+y=4,xy=3+z^2
(ii)p-4≠0のとき
Ｘ＝{(q-3)/(q-4)}Ｅ≡kＥ
＊に代入して
Ｅ(k^2-4k-3)=Ｏ　∴k=1，3
k=1のとき(x-1)(y-1)=z^2
k=3のときxy-3x-3y=z^2-1

zをどう処理すればいいかわかりません。
実数条件→判別式が正。かと思うがＺについて判別式or　z^2>0？
xyの解と係数の関係をどうにかつかう？

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

ONEONEさん、こんにちは。＃３です。

＞つまりは（1，1）(3，3)とxｙ=3、x+y=4の交点の間の線分（x+y=4,1≦x≦3）
ということですか。

そういうことですよね！
xy≧3
というのは、双曲線xy=3の、上側の部分（領域）ですよね。
これと、x+y=4
との交点は、
xy=3
x+y=4
を解いて、x=1,3です。
x=1のとき、y=3
x=3のとき、y=1

双曲線の上側の部分で、しかもx+y=4となっているのは
点(1,3)と(3,1)の間の部分ですね。
これはちょうど、1≦x≦3を満たしています。

それと、点(1,1)と(3,3)も満たします。

点(1,3)と(3,1)を結ぶ線分
ただし、x+y=4の1≦x≦3の部分　と、
２点(1,1)と(3,3)

のように説明したらいいでしょうか。
ちょっと変わった？問題ですよね。

お礼

どうもありがとうございました。納得できた。

回答No.3

fushigichan

ONEONEさん、こんにちは。
指針は出ていますので、解説ですが、

＞(p-4)Ｘ-(q-3)Ｅ＝Ｏ
(i)p-4=0のときq-3=0⇔x+y=4,xy=3+z^2

ここのところ、すごくいいと思います。
(4-(x+y))X+(xy-z^2-3)E=0 0:0行列

ですから、場合わけ
1)x+y=4のとき、xy=z^2+3
z^2=xy-3≧0より、xy≧3
これにx+y=4を代入
x(4-x)≧3
-x^2+4x-3≧0
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)≦0
1≦x≦3←定義域と考えればよい

ですから、このときは、双曲線xy=3の上の領域と、
直線x+y=4との交わる部分。
さらに、定義域は1≦x≦3で考えればよいでしょう。

2)x+y=4のとき、
成分計算すれば
X={(3-xy)/((4-(x+y))}*E
となるので、単位行列の実数倍であるから、z=0のはず。
また、
　　　x　z
Ｘ＝（　　）
　　　z　y
なので、
(1,1)成分を比べると
x=(3-xy)/(4-(x+y))=y
x=yより、
(3-x^2)/(4-2x)=x
3-x^2=x(4-2x)
3-x^2=4x-2x^2
x^2-4x;3=(x-1)(x-3)=0
x=1,3
x=1のとき、y=1このとき、X=E
x=3のとき、y=3このとき、X=3E

ですから、このときは点(1,1)(3,3)になりますね。

1)2)を図示すればいいですね。頑張ってください。

お礼

どうもありがとうございます
つまりは（1，1）(3，3)とxｙ=3、x+y=4の交点の間の線分（x+y=4,1≦x≦3）
ということですか。

回答No.2

noname#24477

そこまで出来ていればほとんど終わりでしょう。

ｘ＋ｙ＝４，ｘｙ＝３＋ｔ＾２
ｔが任意の実数ならば　ｔ＾２≧０
ｘｙ≧３
図示すれば双曲線の外側で直線ｘ＋ｙ＝４
ｘ（４－ｘ）≧３
ｘ＾２－４ｘ＋３≦０

後半Ｘ＝ｋＥ　の場合はｘ＝ｙ＝ｋ，ｚ＝０
Ｅは単位行列です。

お礼

ありがとうございます。
題名に行列と書いたけれども、わかってないのは違うとこでしたね。

前半の示すところはxy≧3かつx+y=4のところなのですか？

回答No.1

kony0

少なくとも、(ii)でk=1のときは、X=E→x=1,y=1,z=0と出るのでは？同様に、x=3,y=3,z=0も解。

(i)は、z^2≧0を使えばよいと思います。直線上かつ双曲線より上側なので、直線を双曲線で切った部分が該当します。
まじめに考えるなら、x=t, y=4-t, z=√{t(4-t)-3}とおけば、√の中身≧０より、1≦t≦3が導出されます。

お礼

「木を見て森を見ず」の状態でした。
(ii)でどうしてそこに気付かなかったのか・・・。
どうもありがとうございます。