高校数学 式の証明

質問

• 高校数学の式の証明について質問です。説明が途中で分かりづらくなってしまいました。模範解答が省略されているため、考え方や途中式を省略せずに教えていただけると助かります。
• 問題１では、「３（ab+bc+ca）=abc」かつ「a+b+c=3」のとき、少なくともひとつの変数が３に等しいことを証明する方法を教えてください。
• 問題２では、「x+y+z=a」かつ「x^3 + Y^3 + z^3 = a^3」のとき、「（x+Y）a^2 -a (x+y)^2 +xy(x+y)=0」が成り立つことを証明し、少なくともひとつの変数がaに等しいことを証明する方法を教えてください。

回答No.2

puusannya

ここに書かれた問題は基本的にはすべて交代式の考え方が使えます。
（１）３（ab+bc+ca）-abc=0
(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0
カッコを解いて因数分解すると
(a+b)(b+c)(c+a)=0　となりますのでa+b+c=3をつかって
(3-a)(3-b)(3-c)=0　が成りたちます。

（２）x^3 + Y^3 + z^3 = a^3　で　x+y+z=a　だから
x^3 + Y^3 + z^3 =(x+y+z)^3
(x+y+z)^3-x^3 - Y^3 - z^3=0
これを展開して因数分解すると　(y+z)(x+y)(x+z)=0　となります。
x+y+z=a より　(a-x)(x+y)(a-y)=0　が成り立ちます。
カッコを解いて整理すると、（x+Y）a^2 -a (x+y)^2 +xy(x+y)=0 になります。

（３）x+y+z=a　と置きます。
（x＋ｙ）/z ＝(ａ－ｚ)／ｚ=a/z-1
(y+z)/x =(a-x)/x=a/x-1
(z+x)/y=(a-y)/y=a/y-1
よって　a/z=a/x=a/z より　a≠０　のとき　ｘ＝ｙ＝ｚ
このとき　（x＋ｙ）/z = (y+z)/x = (z+x)/y＝２
ａ＝０　のとき　ｘ+ｙ+ｚ＝０　より　（x＋ｙ）/z = (y+z)/x = (z+x)/y＝－１

（４）1/a + 1/b +1/c = 1/(a+b+c)　通分して分母を払うと
（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ+ｂｃ+ｃａ）－ａｂｃ＝０
カッコを解いて因数分解すると　(a+b)(b+c)(c+a)=0

申し訳ありませんが、後半がまだ解けません。

お礼

ありがとうございます。
どれもわかりやすく、感謝しております。
特に（３）の、＝ａと置く解法が目から鱗でした。

最後の問題は、出題者のミスだったようです。大変御迷惑をおかけしてしまいました。申し訳ありません。