高校数学で、

質問

次の問題が、よくわかりません。
a≦b≦c , ｘ≦ｙ≦ｚ　のとき、次の不等式を証明せよ。
（a＋ｂ＋ｃ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）≦3(ax＋ｂｙ＋ｃｚ）

どうかよろしくお願いします。

回答No.3

shuu_01 · ベストアンサー

数学は simple な方がわかりやすく、計算間違いもしません

No.2 さんの回答はとても simple です

ただ、「ひらめき」というか「頭の良さ」が必要です

僕の場合、「右辺－左辺」まではすぐ思いつきましたが、
a について整理したり、x について整理したりしてるうちに
寝てしまいました（笑）

寝る前も含め、僕の考えた泥臭い思考過程、回答を
No.2 さんの後だと恥ずかしいですが、披露します（疲労かなぁ）

【１】３つは難しいので、２つでやってみました

　2（ax + by）－（a ＋ b）（x ＋ y）
　＝ a（x - y）－b（x - y）
　＝（a － b）（x - y）
　＝（b － a）（y － x）

　これは簡単でした

【２】
　3（ax + by ＋ cz）－（a ＋ b ＋ c）（x ＋ y ＋ z）
　＝ 2ax － ay － ax ＋ 2by － bx － bz ＋ 2xz － cx － cy

　この後、No.2 さんのように閃けば、どうってことない問題
　ですのに、ここで詰まってしまいました

【３】
　１辺の長さが a ＋ b、x ＋ y の長方形の図を描いて
　理解しようとしました
　まったく理解できない訳でありませんが、
　わかりやすいとは言えず、直方体になるとちんぷんかんぷん
　でした

【４】
　b ＝ a ＋ p、c ＝ a ＋ p ＋ q
　y ＝ x ＋ s、z ＝ x ＋ s ＋ t
　（p ≧ 0、q ≧ 0、s ≧ 0、t ≧ 0）

　と置いてみました
　なんか簡単になるかなぁと期待したのですが、
　計算するととんでもなく面倒くさい計算になりました

　でも、とにかく計算してみると

　（a＋ｂ＋ｃ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）
　＝（a ＋ a ＋ p ＋ a ＋ p ＋ q）（x ＋ x ＋ s＋ x ＋ s ＋ t）
　＝（3a ＋ 2p ＋ q）（3x ＋ 2s＋ t）
　＝　9ax ＋ 6as ＋ 3ast＋ 6px ＋ 4ps ＋ 2pt ＋ 3qx ＋ 2qs ＋ qt

　3(ax＋ｂｙ＋ｃｚ）
　＝ 3｛ax ＋（a ＋ p）（x ＋ s）＋（a ＋ p ＋ q）（x ＋ s ＋ t）｝
　＝ 3（3ax ＋ 2qs ＋ at ＋ 2px ＋ 2ps ＋ pt ＋ qx ＋ qs ＋ qt）
　＝ 9ax ＋ 6as ＋ 3at ＋ 6px ＋ 6ps ＋ 3pt ＋ 3qx ＋ 3qs ＋ 3qt

　3(ax＋ｂｙ＋ｃｚ）－（a＋ｂ＋ｃ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）
　＝ 2ps ＋ pt ＋ qs ＋ 2qt

　p、ｑ、s、t はいずれも ≧ 0 ですので
　3(ax＋ｂｙ＋ｃｚ）－（a＋ｂ＋ｃ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）
　　3(ax＋ｂｙ＋ｃｚ）≧（a＋ｂ＋ｃ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）

　となります

　ちなみに、＝ の成立するのは p ＝ q ＝ s ＝ t ＝ 0 の時、
　すなわち、a ＝ b ＝ c、x ＝ y ＝ z の時です

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No.2 さんの回答の方がずっとスマートですが、
閃かないとどうにもなりません

僕の回答はひたすら計算が面倒臭いですが、
（その分、計算間違いする危険性も高いですが）
苦労して計算したら、誰でも解ける方法です

お礼

回答ありがとうございました。
いろいろと考えてくださり、頭が下がる思いです。
本当にありがとうございました。

回答No.2

SKJAXN

あまり深読みせずに、まずは不等式の証明の基本である「右辺－左辺≧0の証明」を実施してみましょう。
右辺－左辺＝3(ax＋by＋cz)－(ax＋ay＋az＋bx＋by＋bz＋cx＋cy＋cz)
＝2ax－ay－az－bx＋2by－bz－cx－cy＋2cz
＝a(x－y)＋a(x－z)－b(x－y)＋b(y－z)－c(x－z)－c(y－z)
＝(a－b)(x－y)＋(b－c)(y－z)＋(a－c)(x－z)≡P

ここで、a≦b≦c、x≦y≦zより、Pの第1～3項ともに[0以下の値]×[0以下の値]の積算であるため結果[0以上の値]となりP≧0となります。よって、左辺≦右辺が証明されました。
等号はPより、a＝b＝cまたはx＝y＝zのとき成立します。

お礼

回答ありがとうございました。
もう少し考えてみます。

回答No.1

Tacosan

ん～じゃぁできるところまでやってみてください.