大学数学の質問です。

質問

大学数学の質問です。
V=R^3のとき　W1がW2２次元部分空間のときW1かつW2≠｛0｝であることを示せという問題なのですが、
W1={(x,y,z)∈V|ax+by+cz+d=0},W2={(x,y,z)|ax+by+cz+f=0}ただしa,b,c,d,fは任意のスカラーとしたときW1とW2は共通部分をもたないのではないかと自分は思ってしまいます。
この問題の証明方法と自分の考えはどう間違っているのかをおしえていただけないでしょうか？？

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

問題文が日本語になっていないので、とりあえず

「V=R^3とし、W1とW2がVの２次元部分空間のとき、W1とW2の共通部分≠｛(0,0,0)｝であることを示せ」

と修正してお答えします。

ただ、この修正文でも重大な欠陥があります。R^3にどんな数学的構造を想定するかによって「２次元部分空間」の意味がまったく違ってくるのです。想定している構造を明確にしない限り、この問題は意味を成しません。

普通、想定されることが多いのは、次の２種類の構造です。

　（１）　3次元のユークリッド空間（位相空間としての構造）
　（２）　3次元のベクトル空間（代数構造）

もし、（１）の構造を想定するなら、質問者様の考えは正しいです。掲げられている例で、a=b=d=0、c=1、f=-1とすれば、

　　W1={(x,y,z)| z=0}
　　W2={(x,y,z)| z=1}

ですから、W1はxy平面、W2はxy平面の上方にxy平面と平行に広がる平面です。よって、W1とW2は共通部分を持ちません。

しかし、この問題は、（２）の構造を想定していると思われます。そうすると、上の例のW2は、部分空間ではありません（(x1,x2,x3)と(y1,y2,y3)がW2の元だったとしても(x1+y1, x2+y2, x3+y3)がW2の元とは限らないから）。

一般に、3次元ベクトル空間R^3の2次元部分ベクトル空間は、適当な実数a,b,cにより、

　　{(x,y,z)| ax+by+cz=0}

表されます。ただし、a,b,cのうち少なくとも１つは0でないものとします。

したがって、任意の２つの２次元部分空間の共通部分が(0,0,0)だけでないことを証明するためには、3元連立方程式

　　a1x+b1y+c1z=0
　　a2x+b2y+c2z=0

が(0,0,0)以外の解を持つことを示せばよいのです。

回答No.1

Tacosan

とりあえず「W1がW2２次元部分空間」の意味がわからんので直してください.
あと, 「部分空間」という条件を忘れていませんか?