ベクトル面積分の問題です

質問

ベクトル面積分の問題です
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calccomans/node117.ht...

の (b) がわかりません

（b)を押すと 解答が見れますが、

dS を dxdy に変えるところで 何をしているのかわかりません。

| | で囲まれてるところです。

また、僕は、はじめ この面積分を 円柱（4分の一に切られている） の各面 でそれぞれ求め あとでそれらを
足し合わせると思っていましたが、この解答では いっぺんにしています。 法線ベクトルn は どの面で 面積分するかで
変わってくると思うのですが、いっぺんにできるのでしょうか。

よろしくお願いいたします

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

←No.4 補足
貴方が考えているのは、
立体 x^2 + y^2 ≦ 9, x≧0, y≧0, 0≦z≦4 の表面ですね。
式をよく見ましょう。
S は、その中の EABC だけですよ。

お礼

はっはっは　笑いました　
仰るとおりです。僕は自分に踊らされていました。
ありがとうございます。感謝します。

回答No.4

alice_44

←No.2 補足
質問文中にも書いてあって、意味不明だったのですが、
「S の各面」って何でしょう？
S： x^2 + y^2 = 9, x≧0, y≧0, 0≦z≦4 は、
一葉の滑らかな曲面に見えます。「各」って？

補足

O(0,0,0)
A(3,0,0)
B(0,3,0)
C(0,3,4)
D(0,0,4)
E(3,0,4)

と　各点をきめて

底面は　ABを弧とする　扇形OAB（四分の一円）
上面は　ECを弧とする　扇形DEC（四分の一円）

の、円柱を縦に四等分した図形を考えます。
各面とは、その図形の各面、
OAB　EAOD　DOBC　EABC　DEC　のことです。

回答No.3

alice_44

陳謝と訂正：

面素 dS が || r_u × r_v || du dv と表される訳です。

回答No.2

alice_44

質問の参照 URL は、末尾が「…」に化けてしまっているので、
ブラウザのアドレスボックス上で、末尾を「node117.html」に
打ち直すと、見ることができるようになります。

計算方法の説明は、(b) を押して飛んだ先のページで
スクロールした一番上の辺りに書いてありますよ。

あの説明は、曲面 S をパラメータ表示する変数を u, v として
書いてあります。式中の r_u などは、S 上の点 (x, y, z) を
u で偏微分した接ベクトルを指しています。

{ r_u, r_v } が S の接平面の基底であることから、
S の単位法線ベクトル n が r_u × r_v / || r_u × r_v ||、
面素 dS が || r_u × r_v || と表される訳です。

F・(r_u × r_v) を行列式で表す変形は、「スカラー三重積」
について勉強してみると解ると思います。(線型代数の範囲です)

さて、この公式を利用するのですが、(b) の解答は変ですね。
問題の S が x^2 + y^2 = 9, x≧0, y≧0, 0≦z≦4 であれば、
この曲面を x, y を変数としてパラメータ表示することはできません。
dx dy じゃなくて、dx dz とか、dθ dz とかで積分しないとね。
では dθ を使って…と思って見てみると、Ω も間違っているし。

補足

スカラー三重積　をみてすこしすっきりしました。
しかし　この解答は変だったのですね。

求める面積分は　Sの各面について分けて求めるのでしょうか。

回答No.1

corpus

dxはxの微小変化量、dyはyの微小変化量。
dxdyはその二つの微小変化量の積です。
つまり、微小な正方形（四角形）のようなものになります。
でも、いちいちdxdyと書いていては面倒なので、
dSとして正方形（四角形）の面積Sの微小変化量としているのです。

それから、問題のアドレス先が見ることができませんでした。
でも、おそらく、今の説明でわかっていただけたことでしょう。

補足

もうしわけありません。　こちらの不手際です。

上の方の言うとおりにすると見れるようです。