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RL直列回路の問題がどうしても解けません

「RL直列回路に交流電圧e(正弦波)を印加した場合に流れる電流iの計算式を示し、電流の電圧に対する位相差Φを求めよ」という問題がどうしても解けません。 どなたか詳しい解説おねがします。

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これだけですと色々考えられて、困りますが、単純電流を求めると、 i=e/Z Z=√(R^2+(ωL)^2) となります。 瞬時式か、複素数で表すと、もうちょっと計算が必要ですが。 (1) 位相差も公式が簡単で、 θ=tan-1(ωL/R) です。 (2) ほかには、普通は、ベクトル図を書きます。 インピーダンスのベクトル図はかけますか? 横軸にR、縦軸にωLで、斜めにZ=√(R^2+(ωL)^2)のインピーダンスです。 直列回路では、電流iは、抵抗と同相ですので、Rと同じ向きに電流のベクトルを描きます。 それに、更に電圧のベクトル図を重ねます。 横軸に抵抗の電圧VR、縦軸にコイルの電圧VLです。 Zと同じ向きに、電源電圧V=√(VR^2+VL^2) を描きます。 この電圧と電流のなす角が位相差φになります。 この位相差は、抵抗RとZのなす角と同じです。 したがって、tanθで(実際はアークタンジェント)で表すと(1)の公式になるわけです。 (3) 問題には書いてないのですが、なんとなく、瞬時式で求める感じもありますが、こちらはここに書くのが大変ですので、もし必要なら補足をお願いします。

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質問者からの補足

詳しい解答ありがとうございます。 インピーダンスのベクトル図は一応かけます。 お手数ですが、瞬時式による求めかたのほうも、お願いできればと思います。

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  • 回答No.2

基準電圧eを、e=V・sin(ωt) とおく。 一般には、e=V・sin(ωt+θ)と置いていますが、自明のように思えるので、θ=0としました。 結局、求めてもゼロにするので。 回路の微分方程式を立てて解きます。 ここも、厳密には、一般解と特殊解を求めるのが普通だと思いますが、定常状態についてだと思いますので、特殊解だけにして省略します。(求めても、ゼロにするので。) L(di/dt)+R・i=V・sin(ωt) ・・・(1式) この特殊解は、次の式で求めることが出来ます。 i=a・sin(ωt)+b・cos(ωt) ・・・(2式) 1式に2式を代入して、整理する。 ωL{a・cos(ωt)-b・sin(ωt)}+R・{a・sin(ωt)+b・cos(ωt)}=V・sin(ωt) (R・a-b・ωL)・sin(ωt)+(R・b+a・ωL)・cos(ωt)=V・sin(ωt) ここで、左辺と右辺の振幅を比べると、次の式が成り立つ。 R・a-b・ωL=V ・・・(3式) R・b+a・ωL=0 ・・・(4式) これより、a,bをもとめると、 a=(V・R)/Z^2   ・・・(5式)    b=-(V・ωL)/Z^2 ・・・(6式) ただし、Z=√(R^2+ωL^2) 2式に5式、6式を代入して、特殊解を得る。 i={(V・R)/Z^2}・sin(ωt)+{-(V・ωL)/Z^2}・cos(ωt) =(V/Z^2)・{R・sin(ωt)-ωL・cos(ωt)} ・・・(7式) 7式の三角関数を合成する。 i=(V/Z)・sin(ωt-φ) ・・・(8式) φ=tan-1(ωL/R)   ・・・(9式) 8式、9式より、電流の振幅がV/Z、位相は電圧よりφだけ遅れていることが分かる。 (合成の説明。以下、読み飛ばしても可) ---------------------------------------------------------------- ここで、Rを横軸、ωLを縦軸とし、Zを斜辺とする直角三角形を考える。 位相角(偏角)をφとおけば、次式が成り立つ。 cosφ=R/Z sinφ=ωL/Z これより、 R=Z・cosφ ωL=Z・sinφ また、tanφ=(ωL/R)より、φ=tan-1(ωL/R) 7式に代入。 i=(V/Z^2)・{Z・cosφ・sin(ωt)-Z・sinφ・cos(ωt)} =(V/Z)・{cosφ・sin(ωt)-sinφ・cos(ωt)} 加法定理より、 i=(V/Z)・sin(ωt-φ) ・・・(8式) -----------------------------------------------------------------

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