RL直列回路の問題がどうしても解けません

質問

「RL直列回路に交流電圧e(正弦波）を印加した場合に流れる電流iの計算式を示し、電流の電圧に対する位相差Φを求めよ」という問題がどうしても解けません。

どなたか詳しい解説おねがします。

回答No.1

Executione · ベストアンサー

これだけですと色々考えられて、困りますが、単純電流を求めると、

i=e/Z
Z=√(R^2+(ωL)^2)
となります。

瞬時式か、複素数で表すと、もうちょっと計算が必要ですが。

(1)
位相差も公式が簡単で、
θ=tan-1(ωL/R)
です。

(2)
ほかには、普通は、ベクトル図を書きます。
インピーダンスのベクトル図はかけますか？
横軸にR、縦軸にωLで、斜めにZ=√(R^2+(ωL)^2)のインピーダンスです。

直列回路では、電流iは、抵抗と同相ですので、Rと同じ向きに電流のベクトルを描きます。
それに、更に電圧のベクトル図を重ねます。
横軸に抵抗の電圧VR、縦軸にコイルの電圧VLです。
Zと同じ向きに、電源電圧V＝√(VR^2＋VL^2)　を描きます。

この電圧と電流のなす角が位相差φになります。
この位相差は、抵抗RとZのなす角と同じです。
したがって、tanθで（実際はアークタンジェント）で表すと(1)の公式になるわけです。

(3)
問題には書いてないのですが、なんとなく、瞬時式で求める感じもありますが、こちらはここに書くのが大変ですので、もし必要なら補足をお願いします。

補足

詳しい解答ありがとうございます。

インピーダンスのベクトル図は一応かけます。

お手数ですが、瞬時式による求めかたのほうも、お願いできればと思います。

回答No.2

Executione

基準電圧eを、e=V・sin(ωt)　とおく。
一般には、e=V・sin(ωt+θ)と置いていますが、自明のように思えるので、θ=0としました。
結局、求めてもゼロにするので。

回路の微分方程式を立てて解きます。
ここも、厳密には、一般解と特殊解を求めるのが普通だと思いますが、定常状態についてだと思いますので、特殊解だけにして省略します。（求めても、ゼロにするので。）

L(di/dt)+R・i=V・sin(ωt)　・・・(1式)

この特殊解は、次の式で求めることが出来ます。

i=a・sin(ωt)+b・cos(ωt)　・・・(2式)

1式に2式を代入して、整理する。

ωL{a・cos(ωt)-b・sin(ωt)}+R・{a・sin(ωt)+b・cos(ωt)}=V・sin(ωt)
(R・a-b・ωL)・sin(ωt)+(R・b+a・ωL)・cos(ωt)=V・sin(ωt)

ここで、左辺と右辺の振幅を比べると、次の式が成り立つ。

R・a-b・ωL=V　・・・(3式)
R・b+a・ωL=0　・・・(4式)

これより、a,bをもとめると、

a=(V・R)/Z^2　　　・・・(5式)　　　
b=-(V・ωL)/Z^2　・・・(6式)

ただし、Z=√(R^2+ωL^2）

2式に5式、6式を代入して、特殊解を得る。

i={(V・R)/Z^2}・sin(ωt)+{-(V・ωL)/Z^2}・cos(ωt)
=(V/Z^2)・{R・sin(ωt)-ωL・cos(ωt)}　・・・(7式)

7式の三角関数を合成する。

i=(V/Z)・sin(ωt-φ)　・・・(8式)
φ=tan-1(ωL/R)　　　・・・(9式)

8式、9式より、電流の振幅がV/Z、位相は電圧よりφだけ遅れていることが分かる。

（合成の説明。以下、読み飛ばしても可）
----------------------------------------------------------------
ここで、Rを横軸、ωLを縦軸とし、Zを斜辺とする直角三角形を考える。
位相角（偏角）をφとおけば、次式が成り立つ。

cosφ=R/Z
sinφ=ωL/Z

これより、
R=Z・cosφ
ωL=Z・sinφ

また、tanφ=(ωL/R)より、φ=tan-1(ωL/R)

7式に代入。
i=(V/Z^2)・{Z・cosφ・sin(ωt)-Z・sinφ・cos(ωt)}
=(V/Z)・{cosφ・sin(ωt)-sinφ・cos(ωt)}

加法定理より、
i=(V/Z)・sin(ωt-φ)　・・・(8式)
-----------------------------------------------------------------

お礼

ありがとうござます。