自然対数の底の関数

質問

答えは
あ５、い８、う６、え７、お５、か８、き７、く６
ア８、イ１、ウ２、エ８、オ１、カ６、キ１、ク２、ケ８
ですが、解き方が分かりません。

回答No.1

muturajcp

x^2-2x+1=(x-1)^2
e^x+e^{-x}+2=(e^{x/2}+e^{-x/2})^2
x^2+2x+1=(x+1)^2
e^x+e^{-x}-2=(e^{x/2}-e^{-x/2})^2
↓
f(x)=√{(x^2-2x+1)(e^x+e^{-x}+2)}+√{(x^2+2x+1)(e^x+e^{-x}-2)}
=√{(x-1)^2(e^{x/2}+e^{-x/2})^2}+√{(x+1)^2(e^{x/2}-e^{-x/2})^2}
=|x-1|(e^{x/2}+e^{-x/2})+|x+1||e^{x/2}-e^{-x/2}|

x<-1
↓
f(x)
=(1-x)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{x/2}-e^{-x/2})
=2e^{x/2}-2xe^{-x/2}

-1≦x<0
↓
f(x)
=(1-x)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{-x/2}-e^{x/2})
=2e^{-x/2}-2xe^{x/2}

0≦x<1
↓
f(x)
=(1-x)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{x/2}-e^{-x/2})
=2e^{x/2}-2xe^{-x/2}

1≦x
↓
f(x)
=(x-1)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{x/2}-e^{-x/2})
=2xe^{x/2}-2e^{-x/2}

∫e^{x/2}dx=2e^{x/2}
∫e^{-x/2}dx=-2e^{-x/2}
∫xe^{x/2}dx=2xe^{-x/2}-2∫e^{x/2}dx=2xe^{x/2}-4e^{x/2}=2(x-2)e^{x/2}
∫xe^{-x/2}dx=-2xe^{-x/2}+2∫e^{-x/2}dx=-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}=-2(x+2)e^{-x/2}

∫_{-1～1}f(x)dx
=∫_{-1～0}(2e^{-x/2}-2xe^{x/2})dx+∫_{0～1}(2e^{x/2}-2xe^{-x/2})dx
=2∫_{-1～0}e^{-x/2}dx-2∫_{-1～0}xe^{x/2}dx+2∫_{0～1}e^{x/2}dx-2∫_{0～1}xe^{-x/2}dx
=-4[e^{-x/2}]_{-1～0}-4[(x-2)e^{x/2}]_{-1～0}+4[e^{x/2}]_{0～1}+4[(x+2)e^{-x/2}]_{0～1}
=-4+4e^{1/2}+8-4e^{-1/2}-8e^{-1/2}+4e^{1/2}-4+4e^{-1/2}+8e^{-1/2}-8
=8e^{1/2}-8

∫_{-2～2}f(x)dx
=∫_{-2～-1}f(x)dx+∫_{-1～1}f(x)dx+∫_{1～2}f(x)dx
=∫_{-2～-1}(2e^{x/2}-2xe^{-x/2})dx+8e^{1/2}-8+∫_{1～2}(2xe^{x/2}-2e^{-x/2})dx
=4[e^{x/2}]_{-2～-1}+4[(x+2)e^{-x/2}]_{-2～-1}+8e^{1/2}-8+4[(x-2)e^{x/2}]_{1～2}+4[e^{-x/2}]_{1～2}
=4[e^{-1/2}-e^{-1}]+4e^{1/2}+8e^{1/2}-8+4e^{1/2}+4[e^{-1}-e^{-1/2}]
=16e^{1/2}-8