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<緊急>数列の問題。 難問？
はじめまして。お恥ずかしながら、数列の問題が解けなくて困っています。 次のような数列は一般項を求めることができますか？ 解けるならば、その解法を教えていただけるとありがたいです。 12P(2)=15P(0) 12P(3)+15P(0)=15P(1) n≧1において、12P(n+3)+15P(n)=27P(n+1) （nは整数） P(0)+P(1)+P(2)+・・・・・・＝１ （←不適切な書き方ですが、nに上限はなく、全てのPの和が１ということです。） よろしくお願いします。
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お礼へ 特性根を公比とする3つの等比数列は(3)を満たすP(1)以降の数列の空間の基底になりますね。 絶対値1以上の公比では和が発散または振動してしまうので、(3)と(4)を満たすのは、公比(√6-1)/2の等比数列だけかなと思ったのですが。
#1で 誤：(1)の特性方程式 正：(3)の特性方程式
まずそのような数列が存在するかどうか以下のように考えてみる。 4つ条件があるので上から順に(1),...,(4)とする。 (1)の特性方程式を解く。 絶対値<1の解は1つだけあり正だと思うのでそれをtとする（単根）。 (1)と(4)を満たすなら、P(1)以降の部分数列は公比tの等比数列で、P(0)とP(1)は (A) P(0)+P(1)/(1-t)=1 を満たす。 さらに(3)のn=1の方程式を(1)とP(4)=t^3 P(1)によってP(0)とP(1)の方程式に変える。 結果はおそらく (B) 36P(0)=5(5+4t^3)P(1)。 さらに(3)のn=2の方程式を(2)とP(5)=t^4 P(1)によってP(0)とP(1)の方程式に変える。 結果はおそらく (C) 70P(0)=(45-16t^2)P(1)。 問題の数列があるとすれば(A),(B),(C)を満たす。 （多分存在しない。）
お礼
丁寧に答えてくださってありがとうございます。 しかし、 >(3)の特性方程式を解く。 絶対値<1の解は1つだけあり正だと思うのでそれをtとする（単根）。 (1)と(4)を満たすなら、P(1)以降の部分数列は公比tの等比数列で、P(0)とP(1)は (A) P(0)+P(1)/(1-t)=1 を満たす。 という流れが納得できません。 私の理解がまちがっていたら申し訳ないのですが、 (3)の特性方程式を解くというのは、 12*x^3-27*x+15=0 を解くということですか？ たしかに、これだと、 x=(√6-1)/2 が解のひとつとしてでてきて、 0<x<1においては、唯一の解となります。 だからといって、P(1)以降の部分数列は、公比(√6-1)/2の数列だとしていいのでしょうか？
お礼
なるほど。 確かにそうですね。 丁寧にありがとうございました。