間違いを教えてください

質問

f（x）＝ax,g（x）＝x^2-4x＋9について、
f（x）≧g（x）を満たすxが1≦x≦4の範囲で存在するような、実数aの範囲を求めよ。

考え:h（x）＝g（x）－f（x）とおくと、
下に凸の放物線y＝h（x）のグラフが1≦x≦4の範囲でx軸と共有点を持てばよいので
D≧0、1≦（a＋4）/2≦4、h（1）≧0、h（4）≧0 より、2≦a≦9/4

しかし答えは2≦aでした。どこがおかしいのですか？すみませんが教えてください…

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

惜しいところですねぇ。間違っているのは、２箇所、

1.「下に凸の放物線y＝h（x）のグラフが1≦x≦4の範囲でx軸と共有点を持てばよいので」

もう一つ、1≦x≦4の範囲の範囲で、y=h(x)のグラフが、ずっと、x軸より下にある場合も、条件を満たします。

2. 1の条件でＯＫだと仮定しても、「D≧0、1≦（a＋4）/2≦4、h（1）≧0、h（4）≧0」だと、1≦x≦4の範囲で、共有点を「２つ」持つ条件になっています。共有点は１つでも構わないので、その場合も考えてやらないといけません。

こう考えてくると、多くの場合について、考え、計算していかないといけないので、結構面倒です。

こういう場合は、ダメな方を考えると、楽かも、という方針が、有効なこともあり、この問題の場合も…

ダメなのは(条件を満たさないのは)、1≦x≦4の範囲で、y=h(x)のグラフがずっとx軸より上にあるとき、なので、
D＜0 または (軸が範囲外 かつ h(1)＞0 かつ h(4)＞0) となる条件を求めて、答はそれ以外、とやる方がよさそうです。

お礼

全くもって安易な考えでした。ダメな場合を考えて、答えはそれ以外とするやり方を検討すべきでした。ありがとうございました。