交流の電流、電圧

質問

抵抗Rの抵抗と自己インダクタンスLのコイルを交流電源に直列に接続したところ
抵抗の両端とコイルの両端の電圧が等しくなった
交流電源の実効値をVeとして抵抗の両端の電圧の実効値を求めよ
ただしコイルの抵抗や電源の内部抵抗等は無視する

上の問題でまず疑問に思ったのが、抵抗とコイルの両端の電圧がそれぞれ等しい
という表記についてです

直列接続なので電流は共通でありI(t)=√2Iesinωtとおけます
ただしIeは電流の実効値でありωは各周波数、tは時間です
ここで抵抗の両端電圧をVrとおくとオームの法則より
Vr=√2IeRsinωtです
またコイルの両端電圧をVlとおくと誘導リアクタンスがωLであるので
Vl=√2IeωLcosωtです
問題文よりVr=Vlとなりますが、正弦曲線と余弦曲線なので
完全に重なることはありえません
つまりある一点ではVr=Vlとなり得ますが、他の点では等しくなりません
電圧が等しいというのは常に等しいということではないのでしょうか？
これが疑問に思ったことの一つ目です

また参考書や教科書でよく目にするのですが、ベクトル図で解く解法があります
(この場合は複素平面で考えるものではなく単純に電流や電圧の実効値を
基準とした位相のズレをベクトルで表すタイプのものです)
あのベクトル図で電圧の合計などが求められるのがよく理解できません
上の例で言えば共通の電流の実効値をIe、
抵抗の両端の電圧の実効値をVer、コイルの両端の電圧の実効値をVel
とすると、Ieを横軸にとってベクトル図を書きますよね
このときVerはIeと同じ方向に伸ばし、Velは90度反時計回りに伸ばします
この合成ベクトルが電源電圧の実効値Veに等しくなるという求め方です

納得できない理由はIeという電流が流れてる時、抵抗の電圧はたしかに
Vr=IeRで表されますが、コイルの電圧はVl=IeωLではありませんよね？
一般的な式としては成り立ちますが、Ieという電流が流れてる瞬間は
コイルは電圧が先に進むのでVl=0となります
にもかかわらずベクトル図ではIeを横軸にとってそれを基準に90度ずらして
合成すると電源電圧の実効値が求まるというのはいささかよく分かりません

以上長文ですが2つの疑問についてご教授願いたいと思います

回答No.2

Executione · ベストアンサー

特に何も書いていない場合は、通常、実効値を表しています。
問題文に「瞬時値、瞬時電圧」とか「sin、cos」の式がなければ、実効値だと思ってかまいません。

交流の場合、電圧が等しいという場合は、ほとんどの場合は実効値になると思いますが、最大値も平均値も同じになり、瞬時値だけが異なります。
例えば、

V1＝Esin(ωt)
V2＝Esin(ωt＋π/4)
V3＝Esin(ωt+φ)

これらは、瞬時値は、波形がずれているので、明らかに異なりますが、
最大値は、どれもE
実効値は、どれもE/√2
平均値は、どれも2E/π
と同じになります。

直列回路の場合、抵抗とコイルの電圧は異なる場合が普通で、この問題は、特殊な場合ですね。
直列回路の場合は、電流を共通（同じ値）として、電圧がそれぞれいくらになるかを求めるのが普通です。
キルヒホッフの法則（この場合はオームの法則だけでいいですが。）にあてはめると、
基準となる電流を
i＝Im・sin(ωt)　　Imは最大値
とすれば、

電源電圧V＝i・(R+jωL)
＝Im・sin(ωt)×(R+jωL)
＝{Im・sin(ωt)×R}+{Im・sin(ωt)×jωL}
＝{R・Im・sin(ωt)}+{jωL・Im・sin(ωt)}
ゆえに、
V＝Vr＋jVL

という形になり、基本的に抵抗の電圧Vrとコイルの電圧VLは異なります。
VLのほうは、「j」がついているので、位相が90度進んでいます。
で、最初に言ったように、RとωLの大きさが等しければ、VrとVLは、90度の位相差がありますが、実効値等は等しいということになります。

逆に、並列回路でしたら、RとωLが異なっても、電圧は同じになり、電流が異なることになります。

お礼

ご回答ありがとうございます
これでひっかかっていたことが納得できました
大変参考になりました

回答No.1

Executione

一つ目の疑問は、
問題文は、「実効値が等しい」とあります。
質問者さんは、瞬時値で比較しています。

2つ目の疑問
ベクトルと、大きさをごちゃ混ぜにしています。

＞コイルの電圧はVl=IeωL

これは、大きさです。
ベクトルでは、「j」がつきますから、「Vr=IeR」これとは90度異なります。

ベクトル図の合成が分からなければ、面倒ですが瞬時値で合成してみるといいでしょう。

Vr＝√2IeR・sin(ωt)
Vl＝√2IeωL・sin(ωt+θ)

合成すると、電源電圧Vになるので、
V=Vr＋Vl
＝√2IeR・sin(ωt)＋√2IeωL・sin(ωt+θ)

2項目を加法定理で展開します。
＝√2IeR・sin(ωt)＋√2IeωL・{sin(ωt)cosθ＋cos(ωt)sinθ}

このまま一般式で求めてもいいのですが、面倒なので、θ=π/2のときで計算します。
＝√2IeR・sin(ωt)＋√2IeωL・{sin(ωt)cos(π/2)＋cos(ωt)sin(π/2)}
＝√2IeR・sin(ωt)＋√2IeωL・cos(ωt)・・・(1式)

となります。
ここで、
A=IeR
B=IeωL
とおき、Aを横軸、Bを縦軸に直角三角形を描きます。
tanφ＝A/B
です。

また、その図より、
cosφ＝A/√(A^2+B^2)
sinφ＝B/√(A^2+B^2)
となります。
ゆえに、

A=√(A^2+B^2)cosφ
B=√(A^2+B^2)sinφ
となります。

これを、(1式)に当てはめます。
V＝√2IeR・sin(ωt)＋√2IeωL・cos(ωt)・・・(1式)
＝√2Asin(ωt)＋√2Bcos(ωt)
＝√2√(A^2+B^2){sin(ωt)cosφ＋cos(ωt)sinφ}

ここで、{}の中の式に加法定理を当てはめます。
＝√2√(A^2+B^2){sin(ωt＋φ)}・・・(2式)

という式が得られます。
抵抗とリアクタンスの大きさが等しければ、
A=Bなので、
tanφ＝A/B　は、明らかに、φ＝π/4

したがって、2式は、
V=√2・√(A^2＋B^2)・sin(ωt＋π/4)
＝√2Ie√(R^2＋ωL^2)・sin(ωt＋π/4)

となります。
この式は結局、実効値のベクトルを合成したものから再現できますね。
偏角もtanφ＝A/Bで求まりますし。
なので、こんな面倒な計算は、一回やっておけば、あとは、ピタゴラスの定理で合成してしまえばいいのです。

お礼

非常に丁寧なご回答ありがとうございます

一つ目の疑問ですが、問題文には「抵抗とコイルの両端の電圧が等しい」
としか書いておらず、これだと瞬時値が等しいのかなと思いました
交流において電圧が等しいというのは実効値が等しいと同値なのでしょうか
しかし一方電源電圧は抵抗とコイルの両端の電圧の瞬時値合計で表される、
すなわちキルヒホッフ第2法則が成り立つはずですよね？
ということは交流では電圧が等しいといった場合、瞬時値が等しい
場合と実効値が等しい場合の2通りあると解釈してよろしいでしょうか？
もし自分の考えが正しければ、それはどのように見極めれば良いのでしょうか

二つ目の疑問ですが、自分でも加法定理を用いて計算してみました
これについては疑問が氷解しました
ありがとうございます

再びの質問になってしまい恐縮ですがお願いします