無限級数

質問

１－１/2^2＋１/3^2-1/4^2＋・・・・・
この無限級数の値を求めよという問題なのですがどのようにしたらいいのでしょうか？

回答No.1

noname#126309 · ベストアンサー

申し訳ないが、∑(n=1～∞)1/n^2=(π^2)/6の結果は使わせておく。

mを自然数として以下の通りである。

1－1/2^2＋1/3^2-1/4^2＋・・・・・＋1/(2m-1)^2-1/(2m)^2

=1＋1/2^2＋1/3^2＋・・・・・・＋1/(2m-1)^2＋1/(2m)^2
ー2(1/2^2＋1/4^2＋1/6^2・・・・・・＋(2m)^2)

=1＋1/2^2＋1/3^2＋・・・・・・＋1/(2m-1)^2＋1/(2m)^2
ー(1＋1/2^2＋1/3^2・・・・・・＋m^2)/2

ここでm→∞としよう。1＋1/2^2＋1/3^2＋・・・・・・＋1/(2m-1)^2＋1/(2m)^2
は∑(n=1～∞)1/n^2=(π^2)/6に収束し
(1＋1/2^2＋1/3^2・・・・・・＋m^2)/2は∑(n=1～∞)1/2n^2=(π^2)/12に収束する

よって上の式より
1－1/2^2＋1/3^2-1/4^2＋・・・・・
＝(π^2)/6ー(π^2)/12
＝(π^2)/12

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。