至急お願いします！！代数学の質問です！！

質問

次の主張は正しいか？理由と共に述べよ。
『Rがユークリッド整域ならR係数n変数多項式環R[x1,・・・,xn]はUFDである』（1～nは小文字）
これをお願いします！

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

正しいんじゃない？

『A が一意分解整域なら、A 係数(1 変数)多項式環 A[x] も一意分解整域である』
を示せば、n に関する数学的帰納法によって、題意は示される。
← R[x1,…,xn] とは、R[x1,…,x(n-1)][xn] のことだから。

整域 A の分数体を K とすると、A[x] は K[x] の部分環となる。
A[x] は単項イデアル整域ですらないが、K[x] はユークリッド整域である。
← 多項式の次数を K[x] のユークリッド関数とすればよいから。

A[x] の元を K[x] において素元分解し、各因子の係数を A 上で通分して
共通分母をまとめて括り出せば、A[x] の元は (A[x] の元の積)÷(A の元) の形に
(K[x] 上一意分解の意味で)一意に表される。分母も A 上で一意分解される。
約分して分母が上手く消えれば、それが A[x] 上の因子分解になるし、
分母が消えなければ、もとの元は因子分解できない。
あらかじめ、分子から A の共通因子(A[x] の 0 次の元)を括り出しておけば、
約分のしかたも一意となる。よって、A[x] の既約分解は一意である。

お礼

ありがとうございました！