基本対称式、イデアル

質問

Ｔ＝ΣＣ[x1,x2,...,xn]ei　（←Σはi=1からnまでの和）
　＝｛Σfi(x)ei |fi(x)∈Ｃ[x1,...,xn]｝
Ｔをこのようにおきます。
（後半は集合として表しています。）
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【注意点】
Ｃ[x1,x2,...,xn]はn変数複素係数多項式環
eiは基本対称式を表しています。
（※xnのnは添え字です。）
（※ei、fi(x)のiは添え字です。）
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このＴに関して次のようなことが言えるのですが、
どのような意味なのか理解することができません。
どなたか、以下の事をもう少し分かりやすく教えて
いただけないでしょうか。

基本対称式｛ei｜１≦ｉ≦ｎ｝を含むようなイデアルはすべてＴを含むので、Ｔは基本対称式を含むような最小のイデアルである。
このようなとき、Ｔは基本対称式によって生成された
イデアルといいＴ＝<ei|１≦ｉ≦ｎ>と表す。

回答No.1

noname#14584

・基本対称式｛e_i｜1≦i≦n｝を含むイデアルはすべてTを含む
基本対称式があるイデアルIに含まれていたら、イデアルの性質(加法に関して部分群、C[x_i]からの作用に関して閉じている)より、Σf_i(x)*e_iの形で書けるものは全てIに含まれているので、T⊂Iですね。

・Ｔは基本対称式を含むような最小のイデアルである
上より、基本対称式を含むTより真に小さいイデアルはない(T⊂Iより)ことになります。

・Ｔは基本対称式によって生成されたイデアル
環Aの元a_1,a_2,…,a_nに対し、a_iによって生成されるイデアルとは、｛Σa_i*x_i|x_i∈A｝というイデアルのことです(これがイデアルになることはよろしいですね)。これと、a_1,a_2,…,a_nを含む最小のイデアルというものは同じになります(先ほどの議論を適用すればよいでしょう)。

・Ｔ＝<e_i|1≦i≦n>と表す。
環Aの元a_1,a_2,…,a_nに対し、a_iによって生成されるイデアルを、(a_1,a_2,…,a_n)と書きます。流儀によっては、<>を用いることもあります。簡単に表すために、そちらでは<e_i|1≦i≦n>=<e_1,e_2,…,e_n>と書いているのだと思います。