高校入試 整数問題です

質問

受験予定校の過去問なのですが、困っています。
どなたかお力をお貸し下さい。

２つの自然数m,nの間にある根号のついた数の個数を＜m,n＞で表す。
例えば＜２，４＞＝１０である。
m＜nとするとき、次の問いに答えよ。
（１）＜６、ｎ＞＝８０となるｎの値を求めよ。
（２）＜ｍ、ｎ＞＝９４となるｎの値をすべて求めよ。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

「２つの自然数m,nの間にある根号のついた数の個数」という
言葉の意味がよく解らないのですが，
<2,4> = 10
という例から，
どうも<m,n>というのは
「kを自然数としたとき，m < √k < n を満たす，
なおかつ根号を外せないものの個数」
という意味だと思います．

なので，
<m,n>
= (m^2 < k < n^2 を満たす k の個数) - (m < k < n を満たす k の個数)
= (n^2 - m^2 - 1) - (n - m - 1)
= n^2 - n - m^2 + m
と表すことができます．

(1)
<6,n> = n^2 - n -30 = 80
(n + 10)(n - 11) = 0
∴n = 11 (n > m = 6).

(2)
<m,n> = (n^2 - m^2) - (n - m)
= (n - m)(n + m - 1) = 94.

p = n - m,
q = n + m - 1
と置くと，m, n は自然数なので
p < q.

積が94となる自然数の組(p,q) (p < q)は
(1,94), (2,47)
の2組だけである．

i) (p,q) = (1,94) とすると，

p + q = 95 = 2n - 1
∴n = 48.

q - p = 93 = 2m - 1
∴m = 47.

(m,n) = (47,48) は題意を満たす．

ii) (p,q) = (2,47) とすると，

p + q = 49 = 2n - 1
∴n = 25.

q - p = 45 = 2m - 1
∴m = 23.

(m,n) = (23,25) は題意を満たす．

以上より，題意を満たすのは
n = 25, 48.

お礼

とても分かりやすい解説ありがとうございました！
助かりました。

またよろしくお願い致します。