数値計算 ニュートン法に関する問題です

質問

この問題のやり方を教えてください

ｎの平方根をニュートン法で求める．ｎ＝１

√ｎ が f(x)＝(x^2)-n＝0 の解であることを利用し、ニュートン法を用いて　√ｎ　を求めるための漸化式を示せ．

よろしくおねがいします

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

ニュートン法はy=f(x)がx軸と交わる点、つまりf(x)=0をiterationによって求める方法で、
適当な点において接線を引きこれがx軸と交わる点を求め、そこからy=f(x)に垂直の直線を立て、
交点において再び接線を引いて同様のことを繰り返しy=f(x)がx軸と交わる点に近づいていく方法です。
点(x(n),y(n))における接線は
y-y(n)=f'(x(n))(x-x(n))
y=0とおくと
x=x(n)-y(n)/f'(x(n))
これが次の近似値でこれをx(n+1)とかくと

x(n+1)=x(n)-y(n)/f'(x(n))

f(x)＝(x^2)-Nのとき（添え字nと区別）
f'(x)=2x
(1)に代入して整理すると
x(n+1)=(x(n)+N/x(n))/2
これが求める漸化式です。

これは平方根を求める漸化式として結果だけよく見かけますが
ニューートンの方法から導かれる証明をしたことになります。

N=10
x(1)=1から出発すると
４回で１０ケタぐらい収束します。

繰り返し計算は簡単なプログラムを作って計算すれば
楽しめます。

回答No.1

xexstyle

ニュートン法の漸化式は一般に、x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f'(x(k)) となります。
f(x)＝(x^2)-nであるならば、f'(x)＝2xであるので、その漸化式は次の通りです。
x(k+1) = x(k) - ( (x(k)^2)-n )/2x(k)