ニュートン法の計算について

質問

３次方程式 Ｘ＾3＋3Ｘ＾2－3Ｘ－4＝0 は区間(-4,-3),(-1,0),(1,2)にそれぞれ１つの実数解をもつ。ニュートン法により、３つの実数解を小数点以下８桁まで正確に求めよ。

上の問題をニュートン法で解きたいのですが、初期値はどうすればいいのでしょうか？
－４、－１、１　でいいのでしょうか？
初期値を決めれば、あとは３つの初期値を使って普通にニュートン法で計算すれば解けますよね？？

数学が苦手で困っています。
回答お願いします。

回答No.3

alice_44

今回の問題では、貴方の初期値で
三個ともちゃんと求まりますが…

ニュートン法が目的の解に収束するための
初期値の集合は、簡単な代数方程式に対しても
フラクタルになる可能性があり、
一般論は容易ではありません。
なるべく解に近いとこから始めたほうがいい
…くらいのことしか言えそうにないです。
区間の左端がいいとか、右端がいいとか、
中点がいいとか、そんな簡単な話ではありません。

ニュートン法の逐次解が単調に解へ近づく場合は
収束が簡単に示せますから、
初回の漸化で解の反対側に行かないように
初期値を選ぶことができるならば、
その初期値は安全と言えるでしょう。
その意味では、今回 (1,2) の初期値は
1 よりも 2 のほうが筋がいいかもしれません。

また、精度についてですが、
ニュートン法では、f/f' の大きさから
逐次解の誤差を見積もることはできません。
漸化して必要な桁数の値が変わらなかったから
その精度では収束した…というのは、誤解です。
そんな保証はありません。

漸化した際の値の変化がある程度小さくなったら、
x = 逐次解±許容誤差 を f(x)=0 へ代入してみて
f(x) の符号が異なるかどうか確認するのが、
唯一の正確な判定方法です。

回答No.2

info22_

>初期値はどうすればいいのでしょうか？
>－４、－１、１　でいいのでしょうか？

これでもいいですが、僕なら、区間(-4,-3),(-1,0),(1,2)の中点である
x=-3.5,-0.5,1.5を初期値に使います。その方がベターでしょう。

>初期値を決めれば、あとは３つの初期値を使って普通にニュートン法で計算すれば解けますよね？
そうです。近似値からより正確な近似値を求める操作を、近似値が小数点以下9桁まで一致するまで計算を繰り返します。9桁目まで一致したら繰り返し計算を終わりにして、小数点以下9桁目を四捨五入して、小数点以下8桁までとって答えとします。これを３回行なって、3次方程式の３つの解の近似値を求めます。、

結果：
-3.52891796
-0.83255081
1.361468766

回答No.1

WiredLogic

＞上の問題をニュートン法で解きたいのですが、初期値はどうすればいいのでしょうか？
＞－４、－１、１　でいいのでしょうか？
＞初期値を決めれば、あとは３つの初期値を使って普通にニュートン法で計算すれば解けますよね？

普通は、それで大丈夫なはずです。

ニュートン法は、たまにうまくいかないときもありますが、

そういうのに当たったら、まずは、区間の逆の端の方を
初期値して試す、これでうまくいくことが多いですし、
それでもダメなら、区間の途中の値を適当にとって、初期値にしてみる、
かなり運が悪くても、いくつか試せば、どれかで何とかなるはずです。