ニュートンラフソン法について

質問

ニュートンラフソン法についての質問です。ニュートンラフソン法を利用するプログラム課題は理解できるのですが、別の問題の一つである次の問題をどう考えていけばよいのかわからないです。
「次の連立方程式f(x,y)=0、g(x,y)=0に対するニュートンラフソン法の反復公式を誘導せよ。」
　参考書を調べますと一般のニュートンラフソン法はテーラー展開を用いて証明しているので、これも何らかの形でテーラー展開を利用するのではないかと思いますが、そこから先へ進めなくて困っています。よろしければどなたかコメントお願いいたします。

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

やはりテーラー展開でしょう。

真の解を X, Y、現在の近似値を X+ΔX, Y+ΔY とすれば、 f, g は既知の関数なので、
F = f(X+ΔX, Y+ΔY), G = g(X+ΔX, Y+ΔY)
は計算できます。これから右辺をテーラー展開すると
F = f(X, Y) + Dx(f)*ΔX + Dy(f)*ΔY + (高次項)
G = g(X, Y) + Dx(g)*ΔX + Dy(g)*ΔY + (高次項)
です。ここで、Dx(f) は f(x, y) の x についての偏微分 (の (X+ΔX, Y+ΔY) における値) で、他も同じです。

f(X, Y) = g(X, Y) = 0 ですから、高次項を無視すると、上は ΔX, ΔY に関する連立方程式になります。これを解いて ΔX, ΔY が出ます。

したがって、近似値 (X+ΔX, Y+ΔY) から (ΔX, ΔY) の近似値が求められることになります。(ΔX, ΔY) を引けば次の近似値が求まります。

お礼

上記の順序を自分でやってみて出来ました！ご丁寧な解答有難うございました。