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重積分の問題です。お願いします。
info22_の回答
x^2+y^2<x (x-(1/2))^2+y^2<(1/2)^2 |y|<1/2,0<x<1/2 被積分関数の√内=x≧0 これに極座標の変換公式 x=rcosθ, y=rsinθ(0<r<1,-π/2≦θ<π/2) r^2<rcosθ r(r-cosθ)<0 r>0なのでrで割って r-cosθ<0 0<r<cosθ (-π/2<θ<π/2) dxdy=rdrdθ なので ∫∫[D] √x dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<x} =∫[-π/2,π/2] dθ∫[0,cosθ] √(rcosθ)rdr =∫[-π/2,π/2] √(cosθ)dθ∫[0,cosθ](r^(3/2)dr =∫[-π/2,π/2] √(cosθ)dθ(2/5)[r^(5/2)] [r:0,cosθ] =∫[-π/2,π/2] √(cosθ)(2/5)(cosθ)^(5/2)dθ =(2/5)∫[-π/2,π/2] (cosθ)^3 dθ =(4/5)∫[0,π/2] (cosθ)^3 dθ =(4/5)∫[0,π/2] (sinθ)'*(1-sin^2θ) dθ =(4/5)[sinθ-(1/3)sin^3θ] [0,π/2] =(4/5){1-(1/3)} =(4/5)(2/3) =8/15
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