• ベストアンサー

重積分の問題です。お願いします。

次の重積分を極座標に変換してもとめよ。 ∫∫√ｘｄｘｄｙ　　（x^2+y^2＜ｘ）

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

x^2+y^2<x (x-(1/2))^2+y^2<(1/2)^2 |y|<1/2,0<x<1/2 被積分関数の√内=x≧0 これに極座標の変換公式 x=rcosθ, y=rsinθ（0<r<1,-π/2≦θ＜π/2） r^2<rcosθ r(r-cosθ)<0 r＞0なのでrで割って r-cosθ<0 0<r<cosθ (-π/2<θ<π/2) dxdy=rdrdθ なので ∫∫[D] √x dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2＜x} =∫[-π/2,π/2] dθ∫[0,cosθ]　√(rcosθ)rdr =∫[-π/2,π/2] √(cosθ)dθ∫[0,cosθ](r^(3/2)dr =∫[-π/2,π/2] √(cosθ)dθ(2/5)[r^(5/2)] [r:0,cosθ] =∫[-π/2,π/2] √(cosθ)(2/5)(cosθ)^(5/2)dθ =(2/5)∫[-π/2,π/2] (cosθ)^3 dθ =(4/5)∫[0,π/2] (cosθ)^3 dθ =(4/5)∫[0,π/2] (sinθ)'*(1-sin^2θ) dθ =(4/5)[sinθ-(1/3)sin^3θ] [0,π/2] =(4/5){1-(1/3)} =(4/5)(2/3) =8/15

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 重積分の問題

    次の問題の解答と解説をお願いします。 また、重積分がちんぷんかんぷんで困っています。 どこか、わかりやすいお勧めのサイトがあれば教えてください。 勉強して、わかるようになりたいと思います。 【問題】 ∬A xdxdyを求めよ。ただし、A : x + y>=1. x^2 + y^2<=1 何卒、よろしくお願いします。

  • 重積分について教えてください。

    重積分の回答を教えてください。 次の重積分を極座標変換にて求めよ。また、積分の領域を図示せよ。 1、∬D(-x^2-y^2+1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1} 2、∬D(1/（x^2+y^2+2）)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0} お手数ですが、回答と積分領域の図をお願いいたします。

  • 重積分の解答を教えてください。

    先日行われたテストの自己採点をしたいのですが、解答をお願いいたします。 重積分の回答を教えてください。 次の重積分を極座標変換にて求めよ。 ∬D(1/（x^(2)+y^(2)+3）)dxdy, D={(x,y)|x^(2)+y^(2)<=1,x>=0,y>=0} の解答はπ/4log（4/3）で正解でしょうか。 違うのならば解答をお願いいたします。

  • 重積分について

    重積分について。。 途中まで解いてみたのですが 最後まで解けなくて困っております。 被積分関数を展開出来ないのが 原因だと思われます；； 回答お願いします。 ε>0とし、 limε→+0 ∬D x^2-y^2/x^4+y^4 dxdy D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} 極座標変換して E:ε≦r≦1,0≦θ≦2πにうつし、・・・ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^y^2 x^2-y^2=(x+y)(x-y) としていろいろ試しましたが 解けずでした＞＜ お願いします

  • 重積分の問題が解けません

    次の重積分の問題がどうしても解けません。 次の図形の体積を求めよ x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3) (a:定数,a > 0) 私は次のようにして解こうとしました。 まず x=u^3,y-v^3,z=w^3,a=b^3 と置きました。 0≦w≦√(b^2-u^2-v^2) ヤコビアンを求め、 dxdydz=27・u^2v^2w^2・dudvdw とし、計算を進め、さらにもう一度変数変換を行いました。 u=rcosθ,v=rsinθ(極座標表示) 同様にヤコビアンを求め計算を進めました。 この方法では正しい解答に行き着きませんでした。 ちなみに答えは(4πa^3)/35となっています。 どなたかご教授ください。 お願い致します。

  • 重積分の問題です

    重積分の問題でこの問題が分りません。 　 分る方いましたら分りやすく教えてください。 問題　次の重積分の値を求めなさい。 　　　　不等式 0≦X≦a, 0≦ｙ≦aの領域をDaとする。 　　　　∬Da 1/(x+1)^2（Y+2）^2　ｄｘｄｙ 　　　　　（aは正の定数とする） 　　　ヒントに a → ∞とせよ とあり 　　　解答は　a＾2/2(a+1)(a+2) となっています。 どのように解けばいいか分りません。分りやすく教えてください。 .

  • 重積分の質問です

    重積分に関する質問です。 教科書の章末問題にあった問題なのですが、自分で解いてみても答えが合わず、 解答のところにも答えしか載っていないため困っています・・・。どうかご教授お願いします。 [1]変数変換を用いて、次の重積分を求めよ。 ∬D √(1-x^2-y^2)dxdy , D={(x,y);x^2+y^2≦x} [2]次の体積を求めよ。 (1) x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)=a^(2/3)(a>0)で囲まれた部分。 (2) x^2+y^2=4-zとxy平面で囲まれた部分。 答え [1](3π-4)/9 [2](1)4πa^3/35 (2)8π 以上です。よろしくお願い致します。

  • この重積分の問題が解けません・・・

    以下の重積分が分からず、困っています。 どなたか解ける方がいれば、教えて頂きたいです。 よろしくお願いします。 ∬(x+y)^2 dxdy x+y≦2 0≦x 0≦y

  • 重積分の問題です。教科書の問題がどうしても分からな

    重積分の問題です。教科書の問題がどうしても分からないので質問させていただきます。 ∬ 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy 積分区間は、(x^2+y^2)^2 <= x^2-y^2 , x>=0 です。 なんとなく極座標の問題のような気はするのですが、積分区間の条件からうまくrとθの条件を導けません。 ちなみに答えは π/4-1/2 となっています。 どうか解法を教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

  • 重積分の問題

    重積分の問題で、どうしても分からないところがあるのですが、教えていただけないでしょうか。 　1　　y ∫dy∫ ye^x dx 　0　　0 見にくくてすみません。とりあえずそのまま解いて部分積分を試みたのですが、途中で詰まってしまいました。変数変換すれば良いのか・・・基礎的な問題のはずなのに出来なくて困っています。どうかよろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する