数学B 数列

質問

次の数列の和を求めよ。

（１）1/1*4 , 1/4*7 , 1/7*10 , ・・・ 1/(3n-2)(3n+1)
このような場合は、各項の分数を分けて
1/3(1-1/3) + 1/3(1/4-1/7) + ・・・ + 1/3{1/(3n-2)-1/(3n+1)} を計算すれば
最初の項と最後の項以外は全部消えていって、答えがでます。
これは最初の式の分母が積の形だったからですよね？

分母に和や差の形がある場合の問題、たとえば
1/1 , 1/1+2 , 1/1+2+3 , 1/1+2+3+4 , ・・・ のような形の数列の場合
一般項は、そのまま書けば「1/1+2+3+4+・・・+n」ですが、これは分母が和の形になっているので積の形に変形する」
つまり、一般項＝2/n(n+1)　にする
という考え方でいいのでしょうか?

また、1/√1+√3 , 1/√3+√5 , ・・・　のような分母にルートの和の形があるときも、分母を積の形にするために有理化する、という考え方でいいのでしょうか?

この類の問題をみると、どれも「分母が積の形になっている」のでそう思い、どの問題もこのやり方でできたのですが、「考え方」としてあっているのか心配です。

お願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞この類の問題をみると、どれも「分母が積の形になっている」のでそう思い、
＞どの問題もこのやり方でできたのですが、「考え方」としてあっているのか心配です。
結果論のような話になってしまいますが、
それで計算できた（解けた）のであればいいと思います。

高校数学で出てくる数列は、なにかしらの「工夫」をして計算するものばかりです。
ほんとうに大事なのは、漸化式を組み立てるところ（問題のシチュエーションから規則性をきちんと見出すところ）だと思いますが。＾＾；

いま挙げている「数列の和」の問題は、
一般項が a(n)＝ f(n)- f(n+1)のような「差の形」になる「パターン」なのです。
この「差」を生む出しているのが、部分分数であったり、分母の有理化だったりするのです。

これについて、和を考えると

Σa(k)
＝ a(1)+ a(2)+ a(3)+ ・・・ + a(n)
＝ { f(1)- f(2) }+ { f(2)- f(3) }+ { f(3)- f(4) }+ ・・・ + { f(n)- f(n+1) }
＝ f(1)- f(n+1)

となります。

一般項は、a(n)＝ f(n)- f(n+2)のように 1つ飛ばした形になったりもします。
このときの和は、消えずに残る項が変わってきますね。
また、一般項を計算してそのままΣを考えれば計算できてしまうこともあるかもしれません。

「パターン」としてしまうのは好きではないのですが、数列についてはそうなるのかなと思ってます。

お礼

回答ありがとうございました。