連続ガス置換の式

質問

容積V[L]の配管に、濃度X0のガスAが入っています。
ここに、流量Q[L/min]でガスBを流し入れたとき(流したガスは、出口から抜けていく)、時間t[min]後のガスAの残留濃度Xが
X＝X0・e^(-Qt/V)
で表されるそうなのです。
実際に、V, Qを決めてtの値を代入していき t vs X のグラフを描いてみたところ、tが0のときXが1で、tの増加とともにXが０への漸近線で減少していく形になりました。
すなわち、上式は連続ガス置換の式として正しいことが確認できました。

昔は、こんな対数式も簡単に理解できたはずなのですが、なぜこのような式になるのか、理解できません。
昔の知識を総動員して、以下のように式をいじってみましたが、「・・・だから、何？」という感じです。

X=X0・e^(-Qt/V)
両辺の対数を取って
log_e(X)=log_e{X0・e^(-Qt/V)}
　　　　=log_e(X0)+log_e{e^(-Qt/V)}
　　　　=log_e(X0)-Qt/V
Qt/V=log_e(X0)-log_e(X)
　　　　=log_e(X0/X)

・・・ここまでいじくり回して、ギブアップしました。

なぜ、連続ガス置換の式が　X=X0・e^(-Qt/V) になるのか、教えて下さい。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

A の濃度が X のとき、配管内の A の量は X V。時間 dt の間に注入される B の量は Q dt で、これと置き換わる A の量は X V × (Q dt/V) = X Q dt。よって、
d(X V) = - X Q dt。
これから
dX/X = -(Q/V)dt。
積分すると
ln X = -(Q/V)t + c、
X = d e^{(-Q/V)t}。
ここで c と d は積分定数。
初期条件
t = 0 で X = X0
より
d = X0。
よって、
X = X0 e^{(-Q/V)t}
となります。

お礼

素晴らしい。ありがとうございました。

最終の計算式を逆から崩していけば、最初の立式に辿り着くかな　・・と思ってやっていたのですが、まるで見当外れなアプローチでしたね。
お恥ずかしい・・。