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代数学の問題です。
ramayanaの回答
- ramayana
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ANo.2の続きです。 補足質問３ 「27行目の、上の命題により、Snの共役類の個数・・・」 （３－１） 共役類の個数＝巡回置換型の個数 命題によって、すべての共役類と、すべての巡回置換型との間に、１対１の対応関係があることが分かります。よって、共役類の個数＝巡回置換型の個数です。 また、上の（２－１）により、すべての巡回置換型は、l1+l2+…+lk＝n、l1≧l2≧…≧lkなる数字の組[l1,l2,...,lk]で表すことができます。反対に、このような数字の組を任意にもってきたとき、それを巡回置換型とする置換が必ず存在します（1からnまでの数字をl1個、l2個、…、lk個のk組に分けて、それぞれの組での巡回置換の積をとればよい）。 以上により、共役類の個数は、l1+l2+…+lk＝n、l1≧l2≧…≧lkなる数字の組の個数に等しくなります。 補足質問４ 「C(n )= B(n, 1) + B(n, 2) + … + B(n, n)」 （４－１） 考え方 C(n )は、n個の要素を何組かに分ける分け方のパターンの数です。分け方における最大の組の要素の個数がいくつかによって、分け方を分類すれば、上の式が得られます。 （４－２） 例 n=6の場合を考えます。分け方のパターンは、[6]、[5,1]、[4,2]、[4,1,1]、[3,3]、[3,2,1]、[3,1,1,1]、[2,2,2]、[2,2,1,1]、[2,1,1,1,1]、[1,1,1,1,1,1]の11通りです。よってC(6)=11です。 このうち、最大の組が6のものは[6]だけなので、B(6,6)=1です。最大の組が5のものは[5,1]だけなので、B[6,5]=1です。最大の組が4のものは、[4,2]、[4,1,1]なので、B[6,4]=2です。最大の組が3のものは、[3,3]、[3,2,1]、[3,1,1,1]なので、B[6,3]=3です。 最大の組が2のものは、[2,2,2]、[2,2,1,1]、[2,1,1,1,1]なので、B[6,2]=3です。最大の組が1のものは、[1,1,1,1,1,1]だけなので、B[6,1]=1です。 以上により、B(6,1)+B(6,2)+B(6,3)+B(6,4)+B(6,5)+B(6,6)=1+3+3+2+1+1=11=C(6)となります。 補足質問５ 「B(n, r) = B(n-r, r) + B(n-r, r-1) + … + B(n-r,1)」 （５－１） 考え方 B(n, r)は、n個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素の個数がrになるパターンの数です。このパターンは、残りn-r個をどのように分けるかで決まります。また、このn-r個を分けるパターンでは、最大の組の要素の個数はrを超えることができません。つまり、「n個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素の個数がrになるパターン」全体は、「n-r個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素の個数がr-１以下になるパターン」全体と、１対１に対応します。これらにより、上の式が得られます。 （５－２） 例 B(6,2)を考えます。上でみたように、6個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素の個数が2のものは、[2,2,2]、[2,2,1,1]、[2,1,1,1,1]の3パターンです。これらから、左端の2を取り除いたパターン[2,2]、[2,1,1]、[1,1,1,1]は4個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素が2以下のもの全体です。[2,2,2]と[2,2]、[2,2,1,1]と[2,1,1]、[2,1,1,1,1]と[1,1,1,1]を対応させることにより、「6個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素の個数が2のもの」全体は、「4個の要素を分ける分け方のうち、最大の組の要素の個数が2以下のもの」全体と、１対１に対応します。前者のパターンの個数は、B(6,2)=3であり、後者のパターンの個数は、B(4,2)+B(4,1)=2+1=3で、両者は一致します。
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