- ベストアンサー
代数学の問題です。
ramayanaの回答
（⇒について） xとyが共役で、 x=a1・a2・…・ak だとします。ただし、各aiは、長さがliの巡回置換であり、i≠jなるiとjに対してaiとajは共通の要素を含まないものとします。また、 l1≧l2≧…≧lk とします。 xとyが共役であることから、ある置換zが存在し、y=z^(-1)xzと書けます。すると、 y=z^(-1) a1z・z^(-1) a2z・…・z^(-1) akz であって、各z^(-1) aizは、長さがliの巡回置換であり、i≠jなるiとjに対してz^(-1) aizとz^(-1) ajzは共通の要素を含みません。これは、xとyが同じ巡回置換型を持つことを意味します。 （⇐について） 逆に、xとyが同じ巡回置換型を持つとします。すると、 y=b1・b2・…・bk と書けます。各biは、長さがliの巡回置換であり、i≠jなるiとjに対してbiとbjは共通の要素を含みません。そこで、次のような対応で定義される置換をzとします。 「b1の第1要素にa1の第1要素を対応、b1の第2要素にa1の第2要素を対応、…、b1の第l1要素にa1の第l1要素を対応 b2の第1要素にa2の第1要素を対応、b2の第2要素にa2の第2要素を対応、…、b2の第l2要素にa2の第l2要素を対応 ・・・ bkの第1要素にakの第1要素を対応、bkの第2要素にakの第2要素を対応、…、bkの第lk要素にakの第lk要素を対応」 すると、y=z^(-1)xzなので、xとyは共役です。 （共役類の個数について） S11の共役類の個数を計算してみると、56になりました。次の通り。 上の命題により、Snの共役類の個数は、 l1+l2+…+lk＝n l1≧l2≧…≧lk となるようなk及びl1, l2, …, lkの選び方の個数に等しくなります。これをC(n)とします。また、これらの選び方のうち、l1 = rとなるものの個数をB(n, r)とすれば、 C(n )= B(n, 1) + B(n, 2) + … + B(n, n) であって、さらに、次の漸化式が成り立ちます。 B(n, r) = B(n-r, r) + B(n-r, r-1) + … + B(n-r,1) B(n, 1) = 1 B(n, r) = 0 for r>n なお、一般に、 B(n, 2) = n/2 (nが偶数のとき) or (n-1)/2 (nが奇数のとき) B(n, n) = B(n, n-1) =1 B(n, n-2) = 2 (n≧4のとき) です。 これらを使ってC(11)を計算すると、次のようにります。 B(11, 1) = 1 B(11, 2) = 5 B(11, 3) = B(8, 3) + B(8, 2) + B(8, 1) = B(5, 3) + B(5, 2) + B(5, 1) + B(8, 2) + B(8, 1) = B(2, 2) + B(2, 1) + B(5, 2) + B(5, 1) + B(8, 2) + B(8, 1) = 1 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 = 10 B(11, 4) = B(7, 4) + B(7, 3) + B(7, 2) + B(7,1) = B(3, 3) + B(3, 2) + B(3, 1) + B(4, 3) + B(4, 2) + B(4, 1) + B(7, 2) + B(7,1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 11 B(11, 5) = B(6, 5) + B(6, 4) +B(6, 3) + B(6, 2) + B(6, 1) = B(6, 5) + B(6, 4) +B(3, 3) + B(3, 2) + B(3, 1) + B(6, 2) + B(6, 1) = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 = 10 B(11, 6) = B(5, 5) + B(5, 4) + B(5, 3) + B(5, 2) + B(5, 1) = 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 7 B(11, 7) = B(4, 4) + B(4, 3) + B(4, 2) + B(4, 1) = 1 + 1 + 2 + 1 = 5 B(11, 8) = B(3, 3) + B(3, 2) + B(3, 1) = 3 B(11, 9) =2 B(11, 10) = 1 B(11, 11) = 1 C(11) = 1 + 5 + 10 + 11 + 10 + 7 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1 = 56
関連するQ&A
- 大学の数学（代数）の問題です。
問）群G1からG2への写像f：G1→G2は群準同型写像であるか。群準同型写像であるならばｆの像Imf及び核Kerfを求め、群準同型写像でなければその理由を述べよ。（Snをｎ次対称群、Zは整数全体のなす集合あるいは加法群） (1)G1＝S5、G2=Z；ｆ（σ）＝ｌ（σ）（σ∈S5）。ここに、ｌ（σ）はσを互いに素な巡回置換の積で表した時に現れる、長さの最も大きい巡回置換の長さ。 (2)G1=Z/９Z、G2=Z/３Z；ｆ（ｘ＋９Z）＝２ｘ＋３Z（ｘ∈Z） です。誰かわかる方解答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学「置換」について
「任意の置換は互換の積に分解される」 ということの証明がわかりません。 巡回置換が互換の積で表せるということはわかったので、あとは任意の置換が巡回置換の積表せればいいのですが、そこがわかりません。 わかりやすい証明をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の問題なのですが、
代数学の問題なのですが、 G＝〈x〉を位数ｎ＜∞の巡回群とする。ｍは自然数でｎはｍZに属する元で位数ｍの部分群がただひとつ存在することを証明せよ。 という問題なのですが教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題が分かりません
線形代数の問題が分かりません ｛1，2，・・・，n｝の置換全体の集合をSｎと表すことにする． （１）S3の元σで次が成り立つものをすべて求めよ． すべてのγ∈S3に対してγσ＝σγ （２）Sn（n≧3）の元σで次が成り立つものをすべて求めよ． すべてのγ∈Snに対してγσ＝σγ この二つの問題が分かりません．どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください． よろしくお願いします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学の置換についての質問です
n≧3とする {g∈Sn|δ(123)δ^(-1)=(123)}をすべて求めよ という問題なのですが、(123)という巡回置換を互換の積で、(13)(23)と表すまではできたのですが、 この後n≧3でどのように考えていったらよいかが分かりません よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 任意の置換は互換の積で表されることの証明
『n次対称群（置換群）Snの各元はいくつかの置換の積として表されることを示せ。』 という問題。 実際にいくつかの置換に対して調べてみると、確かに成り立っていそうなことがわかるのですが、それをどうやって証明したらいいのかわかりません。 実際にこの作業をするとき (1)置換をいくつかの巡回置換の積で表す (2)巡回置換を互換の積で表す という手順で行なっているので、証明もこの二つのステップに分けて考えればいいのだとは思いますが、例えばn=3の時ですらどうやって証明したらいいのかが全くわかりません。実際にn=3なら全てを書き出せば示せるのですが… また出題されている証明はnに関するものでnは自然数であるから数学的帰納法を使うのかな？と漠然な考えしか浮かばず困ってます。 どうやって証明していけばいいのか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学：環に関する問題！！
Ｒ：環 ∀ｘ∈Ｒ ｓ.ｔ ｘ＾２＝ｘ このとき、Ｒは可換環であることを示せ。 （ｘ＾２はｘの二乗） という問題なのですが、 私の解答は ｘ、ｙ∈Ｒ （ｘ＋ｙ）＾２＝ｘ＾２＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ＾２ ＝ｘ＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ ＝ｘ＋ｙ ∴ ｘｙ＋ｙｘ＝０ ∴ ｘｙ＝－ｙｘ ＝（－ｙ）ｘ ＝｛（－ｙ）＾２｝ｘ ＝（ｙ＾２）ｘ ＝ｙｘ ゆえに、可換環である。 なのですが、それはｘ＋ｙ∈Ｒが成り立てば、です。 ｘ、ｙ∈Ｒの時ｘ＋ｙ∈Ｒは成り立つのでしょうか？教えてください。 また、成り立つ以前に証明の仕方が違うならご指摘お願いします（＞＜）
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 質問なのですが、 4行目の、長さがliの巡回置換とはどういうことなのでしょうか。 11行目の、これは、xとyが同じ巡回置換型を持つことを意味しますとありますが、なぜでしょうか。 27行目の、上の命題により、Snの共役類の個数は、 l1+l2+…+lk＝n l1≧l2≧…≧lk となるようなk及びl1, l2, …, lkの選び方の個数に等しくなります。 とありますがなぜでしょうか。 30行目の、また、これらの選び方のうち、l1 = rとなるものの個数をB(n, r)とすれば、 C(n )= B(n, 1) + B(n, 2) + … + B(n, n) であって、さらに、次の漸化式が成り立ちます。 B(n, r) = B(n-r, r) + B(n-r, r-1) + … + B(n-r,1) B(n, 1) = 1 B(n, r) = 0 for r>n なお、一般に、 B(n, 2) = n/2 (nが偶数のとき) or (n-1)/2 (nが奇数のとき) B(n, n) = B(n, n-1) =1 B(n, n-2) = 2 (n≧4のとき) です。 とあるのですが、どうしたらC(n)の式が出るのか、漸化式の1行目はどうして成り立つのでしょうか。 よろしくお願いします。