代数学：環に関する問題！！

質問

Ｒ：環
∀ｘ∈Ｒ　ｓ.ｔ　ｘ＾２＝ｘ
このとき、Ｒは可換環であることを示せ。
（ｘ＾２はｘの二乗）
という問題なのですが、

私の解答は
ｘ、ｙ∈Ｒ
（ｘ＋ｙ）＾２＝ｘ＾２＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ＾２
　　　　　　　＝ｘ＋ｘｙ＋ｙｘ＋ｙ
　　　　　　　＝ｘ＋ｙ
∴　ｘｙ＋ｙｘ＝０
∴　ｘｙ＝－ｙｘ
　　　　＝（－ｙ）ｘ　
　　　　＝｛（－ｙ）＾２｝ｘ
　　　　＝（ｙ＾２）ｘ　
　　　　＝ｙｘ
ゆえに、可換環である。

なのですが、それはｘ＋ｙ∈Ｒが成り立てば、です。
ｘ、ｙ∈Ｒの時ｘ＋ｙ∈Ｒは成り立つのでしょうか？教えてください。
また、成り立つ以前に証明の仕方が違うならご指摘お願いします（＞＜）

回答No.3

ojisan7

なかなか、良い解答だと思います。そこまで解答している、数学のセンスのある人が、ｘ＋ｙ∈Ｒの成り立つ理由が分からないというのは、以外でした。ともかく、証明の仕方は申し分ありません。

お礼

ありがとうございます★☆

回答No.2

yoikagari

問題は無いと思います。
Rは環ですから、x,y∈Rならばx+y∈Rは当然言えますので。

お礼

ありがとうございます！！
お礼が遅くなってすみません★☆

回答No.1

Tacosan

1点確認したいんですけど, R は環ですよね?

補足

遅くなってしまってすみません（＞＜）
Ｒは環です。