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ブール環

環Ｒの任意の元ａに対して、ａ^２＝ａが成り立つとき、Ｒは可換環 である。 の証明について質問します。 [証明] ∀ａ,ｂ∈Ｒについてａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）^２＝ａ＋ａｂ＋ｂａ＋ｂ よってａｂ＋ｂａ＝０．　ａｂ＝－ａｂ これでは可換とはいえないですよね？ ａ＝ｂとすると…と続ければ良いのでしょうか？

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • old_sho
  • ベストアンサー率38% (20/52)
回答No.2

その証明の途中式は、 ａｂ＝－ｂａ と言う結論ですよね。 一方 ａｂ＝（ａｂ）＾２ より ａｂ＝ａｂａｂ＝ａ（ーａｂ）ｂ＝ーａｂ よって ーａｂ＝ａｂ＝ーｂａ ゆえに ａｂ＝ｂａ

ume-kun
質問者

お礼

納得できました。ありがとうございます。

その他の回答 (1)

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

>これでは可換とはいえないですよね？ 仮定から (-1)^2 = -1 じゃんよ。

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