• ベストアンサー

付値環

付値環 記号の約束：ａ＾－１：ここではａの逆元とします。 　　　　　　　 ａ∈R：ａはRに含まれる ａ￢∈R：ａはRに含まれない 永田　可換体論　ｐ１４９ （可換）体Ｋの部分環について次の条件は同値 （イ）ＲはＫの付値環である。 (ロ）ａ∈Ｋ、ａ￢∈R⇒ａ＾－１∈R （ハ）（1）Ｒの商体はＫであって　（2）ａ、ｂ∈R　　、ａ￢∈ｂＲ⇒ｂ∈ａＲ （質問）　（ロ）→（ハ） 　　（1）「Ｒの商体はＫ」は明白とありますがその理由を教えてください。

  • taktta
  • お礼率72% (1031/1430)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • mina5
  • ベストアンサー率44% (4/9)
回答No.1

kの任意の元ｔをとる。 ｔがＲに含まれるなら問題ない。 ｔがＲに含まれるないならt^-1∈R　 またＲの０でない元ｍをとりn=ｍ＊t^-1とおく、するとn∈R このときｔ＝m/nとあらわせますよね。 だからＫの元はすべてＲ／Ｒの形にあらわせられ Ｒの商体はＫ

taktta
質問者

お礼

自分も質問しｔからしばらく考えたらわかりました。 どうもありがとうございました。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • ブール環

    環Ｒの任意の元ａに対して、ａ^２＝ａが成り立つとき、Ｒは可換環 である。 の証明について質問します。 [証明] ∀ａ,ｂ∈Ｒについてａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）^２＝ａ＋ａｂ＋ｂａ＋ｂ よってａｂ＋ｂａ＝０．　ａｂ＝－ａｂ これでは可換とはいえないですよね？ ａ＝ｂとすると…と続ければ良いのでしょうか？

  • 環と多元環の違いについて教えて下さい。

    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0 多元環とは単に環というものに対して可換であるという条件をつけたものであると思うのですが、合っていますでしょうか？

  • エクセルのマクロで、指定した条件を満足する組み合わせを表示する方法？

    エクセルで、例えば 　　　　イ　ロ　ハ Ａ－ａ　３　６　０ Ａ－ｂ　０　５　１ Ａ－ｃ　２　０　５ 　　　　イ　ロ　ハ Ｂ－ａ　３　０　０ Ｂ－ｂ　５　３　１ Ｂ－ｃ　０　２　０ 　　　　イ　ロ　ハ Ｃ－ａ　０　５　０ Ｃ－ｂ　０　４　５ Ｃ－ｃ　０　０　２ のように幾つかのグループ(A、B、C)があって、 それぞれのグループに幾つかのサンプル(a、b、c)があって、 それぞれのサンプルに幾つかの属性(イ、ロ、ハ)があるとして、 (イ 5以上　ロ 10以上　ハ 5以上) のように属性を任意に指定すると、それぞれのグループから一つずつサンプルを選択して、 指定した条件を満足する組み合わせを表示する方法ってありますか？ イ 5以上　ロ 10以上　ハ 5以上の指定だと、 　　　　イ　　ロ　　ハ Ａ－ａ　３　　６　　０ Ｂ－ａ　３　　０　　０ Ｃ－ｂ　０　　４　　５ 　　　　６　１０　　５ 　　　　イ　　ロ　　ハ Ａ－ａ　３　　６　　０ Ｂ－ｂ　５　　３　　１ Ｃ－ｂ　０　　４　　５ 　　　　８　１３　　６ 　　　　イ　　ロ　　ハ Ａ－ｂ　０　　５　　１ Ｂ－ｂ　５　　３　　１ Ｃ－ｂ　０　　４　　５ 　　　　５　１２　　７ のように表示してくれると良いのですが。 教えてください、よろしくお願いします。

  • 多項式環の問題です。どなたかよろしくお願いします。

    多項式環の問題です。どなたか教えていただければ幸いに存じます。 R:=k[x,y] k:体 I:=(x^5-y^2)をRの単項イデアル ψ:R→k[t] (ψ(a)=a (a∈k) ψ(x)=t^2 ψ(y)=t^5)　とする。 (1)I=kerψを示せ。 (2)IはRの素イデアルである事を示せ。 (3)剰余環R/Iの商体が有理関数体k(t)と同型である事を示せ。 です。(1)から分からなかったです。もちろん、I⊂kerψはわかるのですが… よろしくお願いいたします。

  • ガロアの基本定理の前のところ：２

    ガロアの基本定理の前のところ 以下は，永田「可換体論」の一部ですが、 定理２．７．３．　ある可換体の部分体Ｋ、Ｌ．Ｋ’について、Ｋ⊆Ｌ∩Ｋ’とする。 （イ）略 （ロ）ＬがＫの有限次分離的拡大体で、K’がＫの正規拡大体であれば、K’（Ｌ）はK’の有限次分離的拡大体で、［K’（Ｌ）：K’］＝[Ｌ：（Ｋ’∩Ｌ）］ 証明 （ロ）Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする。K’（ａ）＝K’（Ｌ）、K’（Ｌ）はK’のガロア拡大である。 f(ｘ)がK’上で　 Π（ｘ－ａｉ）を因子にもったとする。（ａ＝ａ1、ｓ≦ｒ）。 　ｉ＝１~ｓ その係数ｃ1、---、ｃsをとる。ｃi∈K’．　他方ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。 ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ'''でｃ1、-　-　-、ｃsを含むものがある。 以下は省略しますが、上記のゆえに以下説明くださればありがたいのですが。

  • ガロアの基本定理の前のところ

    以下は，永田「可換体論」の一部ですが、 定理２．７．３．　ある可換体の部分体Ｋ、Ｌ．Ｋ’について、Ｋ⊆Ｌ∩Ｋ’とする。 （イ）略 （ロ）ＬがＫの有限次分離的拡大体で、K’がＫの正規拡大体であれば、K’（Ｌ）はK’の有限次分離的拡大体で、［K’（Ｌ）：K’］＝[Ｌ：（Ｋ’∩Ｌ）］ 証明 （ロ）Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする。K’（ａ）＝K’（Ｌ）、K’（Ｌ）はK’のガロア拡大である。 f(ｘ)がK’上で　 Π（ｘ－ａｉ）を因子にもったとする。（ａ＝ａ1、ｓ≦ｒ）。 　ｉ＝１~ｓ その係数ｃ1、---、ｃsをとる。ｃi∈K’．　他方ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。＃＃＃＃ ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ”でｃ1、---、ｃsを含むものがある。 以下は省略しますが、上記の＃＃＃＃部分についてなぜK上分離的か説明くださればありがたいのですが。

  • 完備化で

    有利数体Qから次のようにして連続の公理をみたす順序体Kが構成される。有理数列でコーシー列となるものの全体をAとする。Aは数列の和、積(An)+(Bn)=(An+Bn)、(An)(Bn)=(AnBn)により可換環となる。今二つのAの元(An)、(Bn)はAnーBn→０(n→∞)のとき同値であると定義する。(An)と同値なAの元全体の集合を[An]と記し、このような[An]全体の集合をRとする。このときAにおける和、積からRにも和、積が定義されRは可換環となるが実はRは体となることを示せ。 東京大学出版の解析入門からですがこの問題が解けなくて困っています、よろしくお願いします。

  • 環の問題です。早めの回答希望です。

    Ｒを可換環、ＳをＲのイデアルとする。 Ｒ⊃Ｓ＋Ｉ:={ｓ＋ａ｜ｓ∈Ｓ,a∈Ｉ}とおく。 （１） Ｓ＋ＩはＲの部分環であることを示せ。 （２） Ｓ／（Ｓ∩Ｉ）と（Ｓ＋Ｉ）／Ｉが同型であることを示せ。 よろしくお願いします。

  • 環の問題です。

    Ｒを可換環,S(⊂R)を積閉集合とする。Ｒ可群Ｍに対し、 Τ(Ｍ):={x∈Ｍ｜あるa∈Ｓに対しax=0}とおく。 （１） Τ（Ｍ）はＭの部分Ｒ可群であることを示せ。 （２） Ｎ：＝Ｍ／Τ（Ｍ）とおく。Τ（Ｎ）＝０を示せ。 よろしくお願いします。

  • 代数の環の分野の問題です

    代数の環の分野の問題です 可換環Rが与えられたとき文字Xを不定元とする R係数の多項式は p(X)=a_nX^n＋a_n-1X^n-1＋…＋a_1X＋a_0 =Σ(i=0からｎ)a_iX^i (a_i∈R） なる形のものです Xを不定元とするR係数の多項式全体の集合は可換環をなしこの可換環をR[X} とします R[X_1X_2,…,X_n]=(R[X_1X_2,…,X_n-1])[X_n] が定義され R[X_1X_2,…,X_n]をＲ上のｎ変数多項式環、 その元をＲ係数ｎ変数多項式というとき ｎ変数多項式は整理すると Σ_(0≦i_1,i_2,…,i_n) a_i_1i_2…i_nX_1^i_1X_2^i_2…X_n^i_n (a_i_1…a_i_n∈Ｒで和は有限和）とかける ことを示したいです 教えてください 文章分かりにくくてごめんなさい

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する