環の基本事項について。「左単位元bと右単位元cが存在すればそれらは等しいか。」

質問

環について勉強しています。
大変基本的な質問で恐縮ですが、

環Rの乗法で単位元の存在を仮定していない時
a,b,c∈Rで
ba＝a,ac＝aの時　b＝cはいえるのでしょうか。

要するに「左単位元bと右単位元cが存在すればそれらは等しいか。」
ということなのですが、
証明できそうでできません。
ひょっとしていえないのでは、という気がしてきました。
どうでしょうか？

代数に詳しい方、よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

タイトル通りの質問なら、＃２さんの回答以外ありませんが…

補足の質問「ある a,b,c∈R において ba=a かつ ac=a の時、b=c」は、
単位元の有無とは関係なく、R が整域でなければ成り立ちません。

反例：R を 10 の剰余系とする。(この R は、単位元を持つ可換環ですが)
３・５＝５ かつ ５・７＝５ かつ ３≠７ です。

お礼

御回答どうもありがとうございます。
大変よく分かりました。

お蔭様で反例の見つけ方もだんだん分かってきたのですが、
（剰余系、行列、合成関数etc・・・。）

あるa∈Rについての反例ではなく、今度は∀a∈Rの場合の反例が見つけられません。
新しい質問スレッドを立てましたので、
またお時間などありましたらよろしくお願いします。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4001169.html?ans_count_asc=20

どうもありがとうございました。

回答No.4

noname#101087

>環Rの乗法で単位元の存在を仮定していない時
>a,b,c∈Rで
>ba＝a,ac＝aの時　b＝cはいえるのでしょうか。

「任意の」a,b,c∈R では、ハナシの決着がつかないのでしょうね。

a が 0 元でないとして、環R が乗法演算について可換ならば
演算則により、
　　0 = a-a = ba - ac = ab - ac = a(b-c)
から、b=c 。???

…などなど。

お礼

御回答どうもありがとうございます。

いろいろ勉強になります。
どうもありがとうございます。

回答No.2

ojisan7

cは右単位元ですから、
bc=b
同様に、bは左単位元ですから、
bc=c
よって、
b=c

補足

左（右）単位元なんて言葉を使ってしまい紛らわしくてすみません。

任意のaではなく、
「あるa,b,c∈Rにおいてba＝a,ac＝aの時 b＝cはいえるのか？」
すなわち「あるa,b,c∈Rにおいてba＝a,ac＝aの時、xa＝ax＝aとなるxが存在して
さらにx＝b＝c」を示せるかということです。
すみません、よろしくお願いします。

回答No.1

fukuda-h

単位元の一意性ですね。これはテキストに載ってませんか。質問者の意味するbとcがあるならばこれらを演算してみましたか？
bc＝ｂ＝ｃですね

補足

ご回答どうもありがとうございます。

単位元の一意性というのは確かに参考書に載っているのですが、
『単位元の一意性』⇒『単位元が存在するならばそれは唯一つである』
ですが、

私が疑問に思っているのは
『左単位元bと右単位元cが存在すればそれらは等しいか。』
でして
もっと違いを明確に表現しますと
『ba＝a,ac＝aの時　xa＝ax＝aとなる単位元xが存在して
さらに単位元x＝b＝c』を証明したいのです。

『単位元の一意性』が単位元の存在を前提としているのに対し、
私の疑問は『単位元が存在することを示したいのです。』

引き続きよろしくお願い致します。