環の乗法に関して左（右）逆元が存在しても一意的とは限らない例を教えてください。

質問

よろしくお願いします。

環について勉強しているのですが、
「環の乗法に関して左（右）逆元が存在しても一意的とは限らない例」
が分からずに困っています。

ソースはココです。

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q=%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83%E3%80%80endomorphism+isomorphic%E3%80%80%E8%B2%A0%E5%85%83&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

自分でも調べているのですが、抽象論ばかりで具体例で説明している所がなかなかなくて行き詰っています。

よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

写像の集合で、乗法を合成関数で定義
f*g = f(g)
というのが例を挙げやすいのでしょう。単位元を恒等写像 id(x) = x として f,g,h: N→N
f(x) = 2x
g(x) = 2x + 1
h(x) = [x/2]

h*f = h*g = id
より f, g はともに h の右逆元であり、h の右逆元は一意でない。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

環の元として写像（計算式）というのもありなんですか！
自分のイメージを超えてました。
びっくりです。

どうもありがとうございます。

回答No.2

kumipapa

＞　環の元として写像（計算式）というのもありなんですか
そうです。何でも良いのです。
ついでに、加法、乗法というのも、実数や整数で定義される加算や乗算だと決まっている訳ではありません。加法をどう定義するか、乗法をどう定義するか、も含めて群とか環が議論されるのです。おいおい慣れると思います。

お礼

再投稿、どうもありがとうございます。

この連休から環の勉強を始めまして、まだ定義がやっと分かったぐらいでして、いろいろご教授ありがとうございます。

定義を学んだ段階では意外と分かりやすそうだと思ったのですが、

>>環の元として写像（計算式）というのもありなんですか
>そうです。何でも良いのです。

何でもよいとなると格段に抽象さ、奥深さ、難解さが増しますね。
理解するにはとても大変そうですが、大きく自分の世界を広げてくれそうな感じがして楽しみでもあります。

この度はどうもありがとうございました。