代数学の問題です。

質問

x,y∈Sn
xとyがSnで共役⇔xとyは同じ巡回置換型をもつ
を証明せよ。

それと、S11の共役類の数はいくつでしょうか。説明もお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.2

ramayana

ANo.1です。

補足質問１　「長さがliの巡回置換とはどういうことなのでしょうか」

（１－１）　巡回置換、長さ

巡回置換というのは、一部分が玉突きのような置換で、他の部分が不変な置換をいいます。例えば、１から１１までの１１個の数字の置換aが、

　　a: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) → (1,2,3,6,8,5,4,7,9,10,11)

だったとします。aによって、1→1、2→2、3→3、4→6、5→8、6→5、7→4、8→7、9→9、10→10、11→11と置換されます。このaでは、1,2,3,9,10,11が不変です。そして、残り4,5,6,7,8では、4→6→5→8→7→4 と順繰りに玉突きのような置換になっています。このaのような置換を「巡回置換」といいます。

また、巡回置換で、動く要素の個数を「長さ」といいます。上のaでは、動くのが4,5,6,7,8の5個なので、aの長さは5です。

特別なケースとして、どの要素も動かない置換（恒等置換）は、長さが1の巡回置換とみなします。動く要素がないのですが、長さを１とします。

上のaを(4→6→5→8→7)と表すことにします。以下、他の巡回置換も同様に表すことにします。恒等置換は、(1)、(2)、(5)などと表すことにします。表し方が違いますが、どれも同じ恒等置換です。

（１－２）　置換は互いに疎な巡回置換の積

すべての置換は、互いに疎な巡回置換の積で表すことができます。「互いに疎」とは、それぞれの巡回置換の間で、動く要素に重複が無いということです。また、この積は、可換（順序の入れ替えが可能）です。

例えば、次の置換xを考えます。

　　x : (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) → (2,1,11,3,5,7,8,9,6,4,10)

xによって、1→2、2→1、3→11、4→3、5→5、6→7、7→8、8→9、9→6、10→4、11→10となります。

1から始まる玉突きをみると、1→2→1となります。これに現れない数字、例えば、3から始まる玉突きをみると、3→11→10→4→3となります。まだ現れない数字、例えば、5から始まる玉突きをみると、5→5です。まだ現れない数字、例えば6から始まる玉突きをみると、6→7→8→9→6です。これですべての数字が現れました。

そこで、上の玉突きに対応する巡回置換を、長さの順に並べてa1、a2、a3、a4とします：

　　a1 = (3→11→10→4)
　　a2 = (6→7→8→9)
　　a3 = (1→2)
　　a4 = (5)

例えば、a1は、3→11、11→10、10→4、4→3と動かし、1、2、5、6、7、8、9を不変とする置換です。
すると、x = a1・a2・a3・a4 です。ここで、掛け算の順番は入れ替えても構いません。

補足質問２　「11行目の、これは、xとyが同じ巡回置換型・・・」

（２－１）　巡回置換型

置換の巡回置換型とは、その置換を互いに疎な巡回置換の積で表したときの、長さのパターンのことです。上のxでは、a1の長さが4、a2の長さが4、a3の長さが2、a4の長さが1ですから、その巡回置換型は[4,4,2,1]と表すことができます。積の順序を入れ替えても良いので、これを[2,4,1,4]と表しても構いません。しかし、同じ型に複数の表し方があると不便なので、ここでは、必ず長さが長いほうから順番で表すことと約束します。すると、巡回置換型の表し方は、[4,4,2,1]のようなものだけが許され、一通りに定まります。

4+4+2+1=11です。置換を互いに疎な巡回置換の積で表したとき、11個の要素のそれぞれは、どれかの巡回置換に必ず現れ、しかもただ１つだけに現れるので、巡回置換型の数字の和は、必ず要素の個数に一致します。

ご質問のケースでは、ｘとyが、同じ長さの互いに疎な巡回置換の積で表されるので、その長さのパターンが同じ、すなわち、同じ巡回置換型を持つことになります。