数学の虚数について

質問

質問１）

aとｂが実数として、x^2+x+1=0の解をω、ω＾２とします（ω＝(-１＋√３i)/２）

ここで（aωーｂ＋a）ω＋ｂ＝１０ωー２０

とします。このとき

（aωーｂ＋a）＝１０
ｂ＝－２０

とはいえませんよね。直接ωを代入してaとbを代入して出す方法しかありませんか？

質問２）

関数f(x)において、ｆ（α）＝０なら、ｆ（ｘ）は（ｘ－α）を因数として持ちます。

ｆ（α）＝βよりｆ（ｘ）＝（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋β
ｆ（γ）＝δよりｆ（ｘ）＝（ｘ－γ）ｈ（ｘ）＋δ
と表せますよね。
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋βとｆ（ｘ）＝（ｘ－γ）ｈ（ｘ）＋δを組み合わせて、ｆ（ｘ）を表せないのですか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

質問１）
ω^2+ω+1=0 が成立ちますから、この式を使って、
(aω-b+a)ω+b=10ω-20 から ω^2 が消去できます。
a(-ω-1)+(-b+a)ω+b=10ω-20 です。
この式を ω の一次式として整理して、各係数を 0 と置けば、
実数 a, b が求まります。

質問２）
f(x)=(x-α)g(x)+β に x=γ を、
f(x)=(x-γ)h(x)+δ に x=α を代入すると、
g(γ) と h(α) の値が求まります。
その値を使って、g(x) と h(x) を f(x) 同様に展開すれば、
g(x)=(x-γ)u(x)+(δ-β)/(γ-α)
h(x)=(x-α)v(x)+(β-δ)/(α-γ) と判ります。
これを最初の式へ代入して、
f(x)=(x-α)(x-γ)u(x)+(x-α)(δ-β)/(γ-α)+β
　　=(x-γ)(x-α)v(x)+(x-γ)(β-δ)/(α-γ)+δ
となり、実は u(x)=v(x) であったことが解ります。

回答No.4

info22_

質問１）
>（aωーｂ＋a）＝１０
>ｂ＝－２０
>とはいえませんよね。
いえません。

>直接ωを代入してaとbを代入して出す方法しかありませんか？
以下のようになります。

>ω＝(-1+√3i)/2 …(1)

最初にωは　x^2+x+1=0の解なので
ω^2+ω+1=0
∴ω^2=-ω-1…(2)

また ω^3=1…(3)

でもあります。

>（aω-ｂ+a)ω+b=10ω-20
aω^2+(a-b)ω+b=10ω-20

(2)を代入
-bω+b-a=10ω-20

(1)のωを代入して
-b(-1+√3i)/2+b-a=10*(-1+√3i)/2 -20
-b(-1+√3i)+2(b-a)=10*(-1+√3i) -40
(3b-2a)-b√3i=-50+10√3i

実部同士、虚部同士等しいとおいて(a,b)を求めると

　∴(a,b)=(10,-10)

質問２）
>ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋βとｆ（ｘ）＝（ｘ－γ）ｈ（ｘ）＋δを組み合わせ
>て、ｆ（ｘ）を表せないのですか？

多分無理でしょう。

回答No.2

yaki_29_u

ωを代入する方法もよいですが、
（aωーｂ＋a）ω＋ｂ＝１０ωー２０

から、
aω^2-(b-a-10)ω+b+20=0
a(ω^2+ω)-(b-10)ω+b+20=0

ω^2+ω=-1なので
-(b-10)ω+b-a+20=0

ここで、ωを代入するときに、ωの整数部分だけ比べて
-(b-10)(-1/2)+b-a+20=0
ωの虚数部分だけ比べて
b-10=0

b=10
a=20+b=30
0と出す方がシンプル。

f(a)=b
f(c)=d
というだけでは、aやcが因数であることはいえません。
f(1)=2であるとき、f(x)=(1-x)+2でも同じ値を出しますが、f(x)=x+1でも同じ値を出します。
さらに、f(x)が有理関数でない限り、f(a)=0であるからといって、(x-a)を因数に持ちません。

回答No.1

tmpname

質問1
（ωは面倒臭いのでwで代用します）
aw-b+a= 10, b=-20は言えません。

しかし、w^2 + w + 1 = 0が何の為に与えられているのかを
考えると、w^2 = -w -1なのだから
(aw-b+a)w+b = a(-w-1) +(-b+a)w + b
= (-b)w + (-a+b) = 10w -20で、
R上 wと1は一次独立だから
-b = 10, -a+b = -20です。

質問2
Lagrange補間公式というものがあります（検索すれば
直ちに出てきます）
この場合
f(x)= (x-α) * δ / (γ-α) + (x-γ) * β / (α-γ) + (x-α)(x-γ) h(x)
です。